线段树(区间树)--Segement Tree

用于解决的问题:

对于给定区间

• 更新:更新区间中一个元素或者一个区间的值
• 查询一个区间[i,j]的最大值,或者区间数字和

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效率对比

	使用数组实现	使用线段树
更新	O(n)	O(logn)
查询	O(n)	O(logn)

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线段树示意

线段树示意图1
线段树示意图2

• 线段树不一定但是满二叉树,这要取决于元素的数量.
• 线段树不一定是完全二叉树,所有的叶子节点也不一定是在最后一层.
• 但是线段树是一颗平衡二叉树(最大的深度和最小的深度差距不超过1)

堆也是是一个完全二叉树,完全二叉树是平衡二叉树的一种.

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线段树空间分配问题

如果区间有n个元素,数组需要表示多少个节点?

• 假设n = 2^k,此时该线段树就是一棵满二叉树,存储节点所需的空间就为2n.(这里我们忽略那一个空间,实际上是2n-1)
• 最坏的情况,如果n = 2^k+1,则需要4n的空间

如果线段树不考虑添加空间,即区间空间固定,使用4n的静态空间即可.
当然,这4n的空间也不是全部都利用到了,在最坏的情况下(n = 2^k-1),可能近乎一半的空间都未被利用.

最坏情况空间分配

代码实现

• SegementTree

public class SegmentTree<E> {

    private E[] tree;
    private E[] data;
    private Merger<E> merger;

    public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){

        this.merger = merger;

        data = (E[])new Object[arr.length];
        for(int i = 0 ; i < arr.length ; i ++)
            data[i] = arr[i];

        tree = (E[])new Object[4 * arr.length];
        buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1);
    }

    // 在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r){

        if(l == r){
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        // int mid = (l + r) / 2;
        int mid = l + (r - l) / 2;
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

    public int getSize(){
        return data.length;
    }

    public E get(int index){
        if(index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        return data[index];
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
    private int leftChild(int index){
        return 2*index + 1;
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
    private int rightChild(int index){
        return 2*index + 2;
    }

    // 返回区间[queryLeft, queryRight]的值
    //返回的值是一个操作merge锁返回的值
    public E query(int queryLeft, int queryRight){

        if(queryLeft < 0 || queryLeft >= data.length ||
                queryRight < 0 || queryRight >= data.length || queryLeft > queryRight) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }

        return query(0, 0, data.length - 1, queryLeft, queryRight);
    }

    // 在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryLeft...queryRight]的值
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryLeft, int queryRight){
        //
        if (l == queryLeft && r == queryLeft){
            return tree[treeIndex];
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        // treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
        //全在左边和圈子啊右边的情况
        if(queryLeft >= mid + 1) {
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryLeft, queryRight);
        } else if(queryRight <= mid) {
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryLeft, queryRight);
        }
        //继续划分
        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryLeft, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryRight);
        return merger.merge(leftResult, rightResult);
    }

    /**
     * 将index位置的值，更新为e
     * @param index data数组小标
     * @param e 更新后的元素值
     */
    public void set(int index, E e){

        if(index < 0 || index >= data.length)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");

        data[index] = e;
        set(0, 0, data.length - 1, index, e);
    }

    // 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e){

        if(l == r){
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        // treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        //如果在右边
        if(index >= mid + 1) {
            set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
        } else // index <= mid
        {
            set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
        }

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }



    @Override
    public String toString(){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        res.append('[');
        for(int i = 0 ; i < tree.length ; i ++){
            if(tree[i] != null)
                res.append(tree[i]);
            else
                res.append("null");

            if(i != tree.length - 1)
                res.append(", ");
        }
        res.append(']');
        return res.toString();
    }
}

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• Merger

public interface Merger<E> {
    E merge(E a, E b);
}

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• Main

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        Integer[] nums = {6,7,9,3,1,2};
        SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree<>(nums,
                (a, b) -> a + b);
        segTree.set(3,4);
        System.out.println(segTree);
    }
}

参考课程:慕课网 -玩转数组结构入门到进阶