一道初中几何题，来自今日头条，如图1。
图1
一看这题，相似联想，联系比较一下，感觉和动点为圆弧轨迹时求面积最大值有些类似。如果三角形ABC为定长，没有BD=6这个约束条件。此时D点轨迹为圆弧，当动点D点在圆弧中点(AD=DC)时面积最大。而此题不是这样，三角形ABC三边只是成比例AB：AC：BC=3：5：7，但三边长度不固定，而BD却是定长。
做下定性分析可知，不同大小(在一定的取值范围内)的三角形ABC可以有相同长度的BD，对不同大小的三角形ABC，D点都在圆弧上，但不能肯定ADC为等腰时面积最大。例如当D为圆弧中点时，等比例放大ABC1.01倍，D朝A方向偏离，此时D点不在新圆弧的中点，但面积可能增大，因为AC变大了，要作定量分析。
本人简书和今日头条中的解法都是原创。本题有两种解法，第一种是偏纯几何法，第二种是数形结合，结合代数方法得到面积的函数，不等式法得到最大值。
第一种解法
图2
第二种解法
图3
解题思维阐述与反思总结
怎么想出这些解法，它的思维过程是怎样的？
这才是本，是重点，是母，是渔，而上图中的解法是末，是子，是鱼，它是解题思维的产出物。不知母，焉知子？初高中数学知识可以说没啥用，不难自学，而通过数学知识学习、数学解题过程来熏陶训练数学思维能力，领悟通透系统的数学思维之道才是主要目的，我们通过事倍功半的海量数学刷题看书追求数学考高分，竞赛得名次也不是主要目的，否则就是买椟还珠，本末倒置。
授人以鱼，不如授人以渔，要传授较为通透系统的思维之道。大脑中的思维活动过程虽然无形，如人饮水，冷暖自知，有些言语道断，但部分还是可以化隐为显，可以向第三者言说的。对数学思维之道(数学思维方法论)领悟越深越通透系统，能言说的能挖掘出来的也就越多，看传授者的思维功底与表达能力。
心有灵犀一点通，我们的数学思维传授点拨，启迪水平还有较大提升空间，缺乏真正悟道数学思维的明师，与此对应，缺乏较为通透系统的数学思维方法论，数学思维方法论研究领域缺乏创新缺乏创新人才，这是我们数学教育数学课堂一直做的很不到位的主要原因，这也就导致数学教育其实几十年一直以灌输数学知识为中心(为主)，而不是以数学思维为中心，即便喊着锻炼思维的口号，但打左灯向右转，没做到。最高层次，高手之间拈花一笑，以心传心，心领神会也是存在的。
回到正题，这题的两种解法是怎么想出来的？这里作下大体的思维活动阐述。
这两种解法，在开始阶段的思维过程是基本相同的，都是矛盾分析与审美，都是转移角度，但在具体如何转移角度上有所不同，从而产生不同的解法。
矛盾分析与直觉审美：审题观察，发现不和谐(不和谐属于矛盾的一种类型)与差异，可以分析出、感觉到、识别出图1中原始的几何结构不和谐之处：感觉无法上手，整个几何结构中，三角形ABC、ADC不和谐，包括两个已知角度BAC、ADC的相互位置关系不和谐不美，其关系疏远不密切，缺乏我们熟悉的几何模型或便于求解的结构；三角形ADC的三个边长都是未知的不固定的。这些都导致问题不好处理，不好求面积最大值。
注意：本文中所讲的几何对象的位置关系，不是数学教材中讲的那些位置关系，例如直线的相交、平行或圆与直线(或圆)相交、相切、相离，这些都只是本文所讲的位置关系的一部分，它比教材中的位置关系更丰富。
如生物学和化学的核心学科思想：结构决定功能与性质。这也是本人先前提出数学“功能思想方法”的底层逻辑。不和谐的数学结构缺少便于解题的一些功能与性质，它缺少熟悉的或便于求解的数学结构模型，导致我们拥有较多的数学知识却无法上手。
对立统一，一体两面，矛盾相互转化。产生不和谐的结构，是提高命题难度的惯用法，而对解题要反其道而行，要反方向变化。
从认识论到方法论，认识论与方法论统一。在辩证法认识论中，运动变化是绝对的，它(运动变化)也是解决问题包括解决数学问题的方法论，它是解决问题转化矛盾的终极大法。哪里有矛盾，也不是哪里不好，哪里不美不和谐就变哪里，对此题就是需要变化几何结构，要对几何结构进行调整改造。
注意：辩证法的矛盾不是逻辑矛盾，矛盾这个词翻译的也不好，容易让人误解，以为所有(辩证法的)矛盾都是问题，都是在制造对立与麻烦，制造不和谐。应该把矛盾理解是对事物之间关系的刻画，也有相互促进和谐共生的，例如五行的生克制化，相互制约相互转化相互促进。在我们的数学题中也有便于解题的关系，和谐的关系。对和谐的要注意合情顺应，而对不和谐的要进行合情改造同化。
如通常狭义的几何变换(平移、旋转、对称、位似、…)一样，转移(搬移)一些几何对象的位置或朝向是一种调整改造策略。对几何结构，往便于求解的方向调整，转移调整后，在物理或逻辑上能集中(组合)某些新旧几何对象，使几何对象重新组合(重构重组)，从而发生“化学反应”，产生新结构(模型)新关系便于解题。这样结构变和谐了，而结构决定功能与性质，就能用上较多的数学知识，便于上手解题。
本人先前文章讲过几何问题中的”位置转移”策略，都是自己领悟的。物理上的转移，是转移对象自身，与物理上的转移搬家不同，这里的转移是偏逻辑的，是对象拷贝、替身或创造有关系的新对象，旧的原对象还在原来的地方(位置)，或者说旧的快照还在。不限于狭义的几何变换，广义的几何变换也是如此，都是偏逻辑上的，但也不排除物理上的转移。
需求(目标)--功能思想--实现(手段)的层次结构。对此题，需求就是要调整几何结构，这是战略上大体的目标、思维方向、设想、意图。而如何实现这些粗放的笼统的需求？还要进一步细化需求，还要寻找实现手段，从功能需求到功能实现，要有“功能思想“来作中介帮我们找到靠谱的手段。
“功能思想”在前面提到过，很多知识都有它对应的功能，而这些功能，初高中数学教材是不会白纸黑字讲出来的，要靠学生自己慢慢领会总结，这对初高中生要求就有些高了。阴先动，阳后随，先有心动，也就是思想意识先行，例如很多人虽然掌握方程函数知识，但不会用它们，因为缺乏方程函数思想意识，没这些心意识也就不容易想到对应的知识。
这些方程函数等等具体数学知识中蕴含着各种思想，例如方程思想、函数思想，在这些思想之上还要往上提炼升华思想层次，如升华出”功能思想”。要领会数学知识的功能，首先也是要有思想意识，要有“功能思想”的意识，要意识到它(数学知识)具有功能(作用)，然后才是具有哪些功能。
例如为何有时想到要作正三角形？从总体上看，首先肯定是因为有需求有需要有意图，而需求是分析识别出来的或凭感觉直觉产生的，例如通过辩证法的矛盾分析得到需求，矛盾分析法可以涵盖数学中的分析综合法，比它更好。其次是因为正三角形如水管“三通”和物理中多晶体一样，具有三向(多向)同性的性质，具有三向(面)玲珑地沟通几何对象的(结构)关系的作用，具有改变线段方向的作用，例如以EF为边作正三角形EFG，可以理解为将EF变为EG，这就变向了。在某些问题中通过矛盾分析法识别出功能需求之后，一旦正三角的这个功能恰好能贴合我们的功能需求和心理需求，思维心理上自然就容易想到作正三角形。再比如一元二次方程的判别式，它具有构造不等式的功能，而一旦我们在具体问题中有需求：需要求最值，需要构造不等式时，有时它就能排上用场，虽然肯定不是万能，但也是一种可能的途径。
“体与用”是辩证法的一对矛盾范畴。这里讲下本人理解的功能与性质的区别，就是体与用的区别，性质是体，功能是用(作用)。而我们的数学教材往往只讲数学性质，不讲其对应功能作用(功用)，不把这层薄薄的窗户纸捅破讲出来，所以即便掌握数学知识，往往不会用，不会灵活运用，想不起来要用某些知识。
辩证法的矛盾观告诉我们要抓主要矛盾抓关键抓重点。对这道题，主要矛盾就是两个角(角BAC、ADC)的位置关系不和谐、三角形ADC三边都不固定，不好直接求面积最大值。所以初步设想是这两个角作为转移的主要候选对象，也要把面积转移转化到便于求解的几何结构中或函数中。从开始的”调几何结构“这个粗放笼统的需求，到这里已经细化确定为具体的需求：转移两个角，转移面积的求解。其它是附带的次要的转移。接下来考虑如何实现转移(如何实现需求)，得到两种方案，对应两种解法。
解法1是转移角ADC。作平行线AQ，这就是我们的转移手段。把它传递转移到角QAD，同时通过平行线进行等积变换进行面积转移，然后见微知著识别出隐含的手拉手相似模型，故创造手拉手相似条件AD/AQ=3/5。通过相似形构造把BD转移到QC位置，是成比例放缩的转移。从解法1可以看到，对象(元素)的转移，伴随着关系的传递与转移，反之也是如此。
而解法2是转移角BAC。作平行线DE，把角BAC转移到角AED，求面积最大值转化转移为求函数xy及其最大值。这样转移之后，角AED与角ADC的关系变和谐了，xy也比较好求。对象之间的关联关系打通变密切了，因为能感觉到新结构产生了熟悉的相似模型，它蕴含较多关系。转移的方向是往BA那侧靠和集中，往BA那一侧A点上方区域转移(搬移)这个几何图形中的几何对象(线段和角度)及其关系。平行线具有转移角度、等积变换、构造比例关系等功能(作用)，它是我们在本题中使用的几何转移手段。
相信感觉直觉，跟着感觉走，跟着直观走，尝试碰壁之后再调整策略，这是合情合理的。对这题，凭感觉凭几何直观，就能产生作平行线的念头。
除了要有合适的转移对象，转移也要找对转移方向。对这题，感觉往BA那侧A点附近上方区域转移(靠)要好，这是重要的决策与选择。转移的偏向性，往往是往已知的、确定的、关系丰富的位置转移，A点附近是关系较丰富的地方。
数学思维方法中，“转移策略”的四要素：转移的大体战略目标(需求、设想、意图)、转移的对象&关系(转移哪些对象或关系，要抓重点)、转移的手段(how，用什么转移手段实现目标，要结合功能思想来启发寻找转移手段)、转移的位置与朝向(方向)。
这个解法还运用了转化与换元的雕虫小技。求面积的最大值，转化为求xy的最大值，把xy看成整体，整体换元。而不是单独求出x、y。设z=yt，是比例换元与参数思想，因为代数式具有齐次特征。这个解法，运用了方程函数思想是显然的。
道悦(王国波) 2022.11.18于广州
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