[机器学习必知必会]梯度下降法

作者: TOMOCAT | 来源:发表于2019-08-25 20:40 被阅读0次

前言

梯度下降法gradient descent是求解无约束最优化问题的一种最常用的方法，它是一种迭代算法，每一步需要求解目标函数的梯度向量。

问题抽象

$f(x)$ 是 $R^n$ 上具有一阶连续偏导数的函数，要求解的无约束问题是: $\min f(x), x\in R^n$ ，其中 $x^*$ 表示目标函数 $f(x)$ 的极小值点

关键概念

迭代：选取适当初始值 $x^{(0)}$ ，不断迭代更新 $x$ 的值，直至收敛
梯度下降：负梯度方向是使函数值下降最快的方向，我们在迭代的每一步都以负梯度方向更新 $x$ 的值
收敛：给定一个精度 $\epsilon$ ，在迭代的每一轮根据梯度函数 $g(x)=\triangledown f(x)$ 计算梯度 $g_k=f(x^k)$ ， $||g_k||<\epsilon$ 时认为收敛
学习率：也叫做步长，表示在每一步迭代中沿着负梯度方向前进的距离

直观理解

以下图为例，开始时我们处于黑色圆点的初始值（记为 $x^{(0)}$ ），我们需要尽快找到函数的最小值点，最快的方法就是沿着坡度最陡的方向往下走

图源：https://www.nxpic.org/article/id-330329

算法细节

由于 $f(x)$ 具有一阶连续导函数，若第 $k$ 次迭代值为 $x^{(k)}$ ，则可将 $f(x)$ 在 $x^{(k)}$ 附近进行一阶泰勒展开：
$f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})$
其中 $g_k=g(x^{(k)})=\triangledown f(x^{(k)})$ 在 $x^{(k)}$ 的梯度。
接着我们求出第 $k+1$ 次的迭代值 $x^{(k+1)}$ :
$x^{(k+1)}\leftarrow x^{(k)}+\lambda_kp_k$
其中 $p_k$ 是搜索方向，取负梯度方向 $p_k=-\triangledown f(x^{(k)})$ ， $\lambda_k$ 是步长，需满足：
$f(x^{(k)}+\lambda_kp_k)=\min_{\lambda\geq0}f(x^{(k)}+\lambda p_k)$

算法实现

输入：目标函数 $f(x)$ ，梯度函数 $g(x)=\triangledown f(x)$ ，计算精度 $\epsilon$
输出： $f(x)$ 的极小值点 $x^*$
步骤:

取初始值 $x^{(0)}\in R^n$ ，置 $k$ 为 $0$
计算 $f(x^{(k)})$
计算梯度 $g_k=g(x^{(k)})$ ，当 $||g_k||<\epsilon$ 时停止迭代，令 $x^*=x^{(k)}$ ;否则，令 $p_k=-g(x^{(k)})$ ，求 $\lambda_k$ ，使 $f(x^{(k)}+\lambda_kp_k)=\min_{\lambda \geq0}f(x^{(k)}+\lambda p_k)$
令 $x^{(k+1)}←x^{(k)}+\lambda_k p_k$ ，计算 $f(x^{(k+1)})$ ，当 $|f(x^{(k+1)})-f(x^{(k)})|<\epsilon$ 或 $|x^{x(k+1)-x^{(k)}}|<\epsilon$ 时停止迭代，令 $x^*=x^{(k+1)}$
否则，令 $k=k+1$ ，回到步骤3