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连享会-交乘项专题: 主效应项可以忽略吗?

连享会-交乘项专题: 主效应项可以忽略吗?

作者: stata连享会 | 来源:发表于2019-08-02 16:41 被阅读0次

     
    作者：胡雨霄 (伦敦政治经济学院)
     
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    Source: WHAT HAPPENS IF YOU OMIT THE MAIN EFFECT IN A REGRESSION MODEL WITH AN INTERACTION? | STATA FAQ

     

    2020寒假Stata现场班 (北京, 1月8-17日，连玉君-江艇主讲)，「+助教招聘」

    2020寒假Stata现场班

    对于一个带交乘项 (interaction term) 的线性回归，我们一般会通过命令

    regress y x1 x2 x1#x2

    来进行回归分析。该回归不仅包括交乘项 (x1#x2) 而且保留了主效应 (x1 x2)。本篇推文讨论的问题是，

    当引入交乘项后，保留全部的主效应项是否必要？忽略一个或者全部的主效应项是否可行？

    对于该问题，首先要明确引入主效应项和交乘项的目的何在。引入主效应项是为了区分截距，而引入交乘项是为了区分斜率。在接下来的分析中，我们会进一步阐述这句话背后的具体含义。

    基于此，对于该问题的回答应为“分情况讨论”。

    • 类别变量相互交乘：可以去掉主效应项，但系数含义不同。
    • 类别变量与连续型变量相互交乘：（1）可以去掉连续型变量主效应项，但系数含义发生改变；（2）一般情况下，不可以去掉类别变量主效应项
    • 连续型变量与连续型变量相互交乘：一般情况下，不可以去掉主效应项

    下面，我们通过几个实证的例子来进一步解释说明。

    1. 实例 1：类别变量相互交乘 (categorical by categorical interaction)

    首先，导入数据

    . use https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/hsbanova, clear
(highschool and beyond (200 cases))

    . d

variable name   type    format     label      variable label
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
id              float   %9.0g                 
female          float   %9.0g      fl         
read            float   %9.0g                 reading score
write           float   %9.0g                 writing score
math            float   %9.0g                 math score
science         float   %9.0g                 science score
socst           float   %9.0g                 social studies score
honors          float   %19.0g     honlab     honors english
grp             float   %9.0g      grp        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sorted by:

    该数据记录了不同个体的性别信息 (female)，组别信息 (grp)，以及不同科目的成绩信息(read, write, math, science, socst, honors) 。

    数据结构如下所示。

    . list in 1/10

     +----------------------------------------------------------------------------+
     |  id   female   read   write   math   science   socst         honors    grp |
     |----------------------------------------------------------------------------|
  1. |  45   female     34      35     41        29      26   not enrolled   grp1 |
  2. | 108     male     34      33     41        36      36   not enrolled   grp2 |
  3. |  15     male     39      39     44        26      42   not enrolled   grp1 |
  4. |  67     male     37      37     42        33      32   not enrolled   grp1 |
  5. | 153     male     39      31     40        39      51   not enrolled   grp1 |
     |----------------------------------------------------------------------------|
  6. |  51   female     42      36     42        31      39   not enrolled   grp2 |
  7. | 164     male     31      36     46        39      46   not enrolled   grp1 |
  8. | 133     male     50      31     40        34      31   not enrolled   grp1 |
  9. |   2   female     39      41     33        42      41   not enrolled   grp1 |
 10. |  53     male     34      37     46        39      31   not enrolled   grp1 |
     +----------------------------------------------------------------------------+

    我们将既包含交乘项也包含主效应项的模型成为 “完整模型” (full model)。在这个例子中，我们对类别变量 female 以及类别变量 grp 进行交乘。

    • 完整模型
    . regress write i.female##i.grp

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(7, 192)       =     11.05
       Model |  5135.17494         7   733.59642   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  12743.7001       192  66.3734378   R-squared       =    0.2872
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2612
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =     8.147

------------------------------------------------------------------------------
       write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |
     female  |   9.136876   2.311726     3.95   0.000     4.577236    13.69652
             |
         grp |
       grp2  |    7.31677   2.458951     2.98   0.003     2.466743     12.1668
       grp3  |   10.10248   2.292658     4.41   0.000     5.580454    14.62452
       grp4  |   16.75286   2.525696     6.63   0.000     11.77119    21.73453
             |
  female#grp |
female#grp2  |  -5.029733   3.357123    -1.50   0.136    -11.65131    1.591845
female#grp3  |  -3.721697   3.128694    -1.19   0.236    -9.892723    2.449328
female#grp4  |  -9.831208   3.374943    -2.91   0.004    -16.48793   -3.174482
             |
       _cons |   41.82609   1.698765    24.62   0.000     38.47545    45.17672
------------------------------------------------------------------------------

    在进行分析之前，我们首先明确各系数的含义。从常数项 (_cons) 开始，41.82609 表示组别 1 男性 (female == 0, grp1 == 1) 的写作分数 (write)。

    以此为基准，我们列表分析不同组别不同性别的人群的写作分数。下表按照回归结果，计算了不同组别的男性和女性的写作分数。

    以 female == 1, group == 2 为例，group 2 的女性的写作水平为 41.83 + 9.14 + 7.31 - 5.03 = 53.25。

    | female  | group | _cons |         |         |         | write |
|---------|-------|-------|---------|---------|---------|-------|
| 0       | 1     | 41.83 |         |         |         | 41.83 |
|         |       |       |         |         |         |       |
| 1       | 1     |       | + 9.14  |         |         | 50.97 |
|         |       |       |         |         |         |       |
| 0       | 2     |       | + 7.31  |         |         | 49.14 |
| 0       | 3     |       | + 10.10 |         |         | 51.93 |
| 0       | 4     |       | + 16.75 |         |         | 58.58 |
|         |       |       |         |         |         |       |
| 1       | 2     |       | + 9.14  | + 7.31  | - 5.03  | 53.25 |
| 1       | 3     |       | + 9.14  | + 10.10 | - 3.72  | 57.35 |
| 1       | 4     |       | + 9.14  | + 16.75 | - 9.83  | 57.89 |

    我们也可以通过 margins 命令直接得到上述计算结果。

    . margins female##grp
------------------------------------------------------------------------------
             |     Margin   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
  female#grp |
  male#grp1  |   41.82609   1.698765    24.62   0.000     38.47545    45.17672
  male#grp2  |   49.14286   1.777819    27.64   0.000     45.63629    52.64942
  male#grp3  |   51.92857   1.539636    33.73   0.000      48.8918    54.96534
  male#grp4  |   58.57895   1.869048    31.34   0.000     54.89244    62.26545
female#grp1  |   50.96296   1.567889    32.50   0.000     47.87046    54.05546
female#grp2  |      53.25   1.662997    32.02   0.000     49.96991    56.53009
female#grp3  |   57.34375   1.440198    39.82   0.000     54.50311    60.18439
female#grp4  |   57.88462   1.597756    36.23   0.000     54.73321    61.03602
-----------------------------------------------------------------------
    • 模型 2：去掉主效应项 female

    当去掉主效应项 female 后，回归结果如下所示。

    . regress write i.grp i.female#i.grp

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(7, 192)       =     11.05
       Model |  5135.17494         7   733.59642   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  12743.7001       192  66.3734378   R-squared       =    0.2872
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2612
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =     8.147

------------------------------------------------------------------------------
       write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         grp |
       grp2  |    7.31677   2.458951     2.98   0.003     2.466743     12.1668
       grp3  |   10.10248   2.292658     4.41   0.000     5.580454    14.62452
       grp4  |   16.75286   2.525696     6.63   0.000     11.77119    21.73453
             |
  female#grp |
female#grp1  |   9.136876   2.311726     3.95   0.000     4.577236    13.69652
female#grp2  |   4.107143   2.434379     1.69   0.093    -.6944172    8.908703
female#grp3  |   5.415179   2.108234     2.57   0.011     1.256906    9.573452
female#grp4  |   -.694332   2.458895    -0.28   0.778    -5.544247    4.155583
             |
       _cons |   41.82609   1.698765    24.62   0.000     38.47545    45.17672
------------------------------------------------------------------------------

    我们可以看到 grp1 grp2 以及 grp3 的回归结果与完整模型是完全一致的。可以直观看到，完整模型的 female 的系数其实和模型 2 的 female#grp1 的系数完全一致。而 female#grp2 的系数其实等于完整模型 female 的系数加上完整模型的 female#grp2 的系数，即 4.10 = 9.13 - 5.03 。

    在这种情况下，模型中未引入主效应项的主要影响是重整 Stata 汇报的回归系数。其结果其实和完整模型的回归结果是一致的。Stata 自行发现了被忽略的主效应项，并汇报了 4 个交乘项的结果，而非像完整模型那样汇报 3 个。这样，完整模型的自由度与模型 2 的自由度均为 7。

    接下来，我们探讨一个关于 显著性 的问题。完整模型的回归结果中，female#grp3 的 p-value 为 0.236，是不显著的。而当去掉 female 的主效应后，female#grp3 的 p-value 为 0.011, 在 5% 的水平上显著。该如何理解这一系数显著性的变化呢？

    在完整模型中，female#grp3 的系数报告的是 group 3 的性别差异与 group 1 的性别差异之差 (across group difference of gender difference)。系数不显著说明，group 3 不同性别成员间的写作水平差异并没有显著高于或者低于 group 1 不同性别成员间的写作水平差异。female#grp4 的系数为 -9.831，并且在 1% 的水平上显著。这说明，相较于 group 1，group 4 的不同性别成员间的写作水平差异显著低了 9.83。由此推测两种可能结果。第一，group 4 不同性别成员间并无显著写作水平差距。第二，group 4 不同性别成员间虽有显著写作水平差距，但是该差距小于 group 1。

    模型 2 也汇报了 female#grp3 的系数，但是却是完全不同的含义。该系数报告的是 group 3 的性别差异 (within group gender difference)。该系数为 5.415，且在 5% 的水平上显著。这说明 group 3 的女性的写作水平比该组男性显著高出 5.415 分。值得注意的是，female#grp4 的系数此时不显著。这说明 group 4 的女性的写作水平与该组男性的写作水平并无显著差异。该结论支持推测的第一种结果。

    将两个模型放到一起看，我们关于各组性别差异得到的信息如下。

    （1） 组内性别差异 （within-group gender difference） group 1, group 2 以及 group 3 的女性的写作水平显著高于同组男性的写作水平。group 4 各成员的写作水平并不存在性别层面上的显著差异。该信息由模型 2 给出。

    （2）组间性别差异之差 （across-group difference of gender difference） 以 group 1 组内成员写作水平的性别差异为基准，group 2 和 group 3 组内成员写作水平的性别差异并无显著差异。然而，group 4 组内成员写作水平的性别差异显著低于基准组。

     

    连享会计量方法专题……

    • 模型 3：去掉主效应项 grp 
    . regress write i.female i.female#i.grp

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(7, 192)       =     11.05
       Model |  5135.17494         7   733.59642   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  12743.7001       192  66.3734378   R-squared       =    0.2872
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2612
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =     8.147

------------------------------------------------------------------------------
       write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
      female |
     female  |   9.136876   2.311726     3.95   0.000     4.577236    13.69652
             |
  female#grp |
  male#grp2  |    7.31677   2.458951     2.98   0.003     2.466743     12.1668
  male#grp3  |   10.10248   2.292658     4.41   0.000     5.580454    14.62452
  male#grp4  |   16.75286   2.525696     6.63   0.000     11.77119    21.73453
female#grp2  |   2.287037   2.285571     1.00   0.318    -2.221015     6.79509
female#grp3  |   6.380787   2.128954     3.00   0.003     2.181646    10.57993
female#grp4  |   6.921652   2.238549     3.09   0.002     2.506347    11.33696
             |
       _cons |   41.82609   1.698765    24.62   0.000     38.47545    45.17672
------------------------------------------------------------------------------

    分析模型 3 的基本思想与模型 2 一致。当去掉 i.group 后，交乘项的含义发生改变，male##grp 和 female##grp* 分别汇报的是 group* 的男性和女性与 group 1 的男性和女性的写作分数差距。换言之，其汇报的是 同性别组间差异 （within-gender across-group difference)。其经济学含义不难解释。

    • 模型 4：只保留交乘项
    .  regress write i.female#i.grp

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(7, 192)       =     11.05
       Model |  5135.17494         7   733.59642   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  12743.7001       192  66.3734378   R-squared       =    0.2872
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.2612
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =     8.147

------------------------------------------------------------------------------
       write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
  female#grp |
  male#grp2  |    7.31677   2.458951     2.98   0.003     2.466743     12.1668
  male#grp3  |   10.10248   2.292658     4.41   0.000     5.580454    14.62452
  male#grp4  |   16.75286   2.525696     6.63   0.000     11.77119    21.73453
female#grp1  |   9.136876   2.311726     3.95   0.000     4.577236    13.69652
female#grp2  |   11.42391   2.377259     4.81   0.000     6.735015    16.11281
female#grp3  |   15.51766   2.227099     6.97   0.000     11.12494    19.91039
female#grp4  |   16.05853   2.332086     6.89   0.000     11.45873    20.65833
             |
       _cons |   41.82609   1.698765    24.62   0.000     38.47545    45.17672
------------------------------------------------------------------------------

    当只保留交乘项后，常数项的意义保持不变，其余各项系数分别表示不同组别成员与 group 1 男性成员的写作分数差距。

    2. 实例 2：类别变量与连续变量交乘 (categorical by continuous interaction）

    • 完整模型
    .  regress write i.female##c.socst

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(3, 196)       =     49.26
       Model |  7685.43528         3  2561.81176   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  10193.4397       196  52.0073455   R-squared       =    0.4299
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4211
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    7.2116

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
        female |
       female  |   15.00001    5.09795     2.94   0.004     4.946132    25.05389
         socst |   .6247968   .0670709     9.32   0.000     .4925236    .7570701
               |
female#c.socst |
       female  |  -.2047288   .0953726    -2.15   0.033    -.3928171   -.0166405
               |
         _cons |    17.7619   3.554993     5.00   0.000     10.75095    24.77284
--------------------------------------------------------------------------------

    常数项的含义为socst=0 的男性的写作分数。socst的系数，0.625 ，为男性组别writing对socst做回归的系数。

    我们用图形来解释交乘项的含义。如图所示的三条线分别报告了全样本和不同性别的 writing 与 socst 的线性关系。其中，主效应项i.female 的作用在于区分不同组别的截距，交乘项的作用则在于允许斜率的改变。此处，交乘项系数的含义为

    Figure 1

    交乘项的系数报告了不同组别斜率之差。其系数为 -0.205，说明女性组别 writing 对 socst 做回归的系数为 0.625 - 0.205 = 0.420。

    • 模型 2：去掉主效应项 c.socst 
    . reg write i.female i.female#c.socst       

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(3, 196)       =     49.26
       Model |  7685.43528         3  2561.81176   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  10193.4397       196  52.0073455   R-squared       =    0.4299
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4211
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    7.2116

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
        female |
       female  |   15.00001    5.09795     2.94   0.004     4.946132    25.05389
               |
female#c.socst |
         male  |   .6247968   .0670709     9.32   0.000     .4925236    .7570701
       female  |    .420068   .0678044     6.20   0.000     .2863482    .5537878
               |
         _cons |    17.7619   3.554993     5.00   0.000     10.75095    24.77284
--------------------------------------------------------------------------------

    该模型交互项汇报的是男性和女性组别，writing 对 socst 做回归 socst 的系数。我们可以看到，交乘项中，female 的系数与 male 的系数之差正好为完整模型的交互项的系数。

    • 模型 3：去掉主效应项 i.female 
    . reg write socst i.female#c.socst       

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(2, 197)       =     66.96
       Model |  7235.18229         2  3617.59115   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  10643.6927       197   54.028897   R-squared       =    0.4047
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.3986
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    7.3504

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
         socst |   .4903271   .0500357     9.80   0.000     .3916528    .5890014
               |
female#c.socst |
       female  |   .0701563   .0195532     3.59   0.000     .0315957    .1087168
               |
         _cons |    25.0561   2.597064     9.65   0.000     19.93449    30.17772
--------------------------------------------------------------------------------

    注意：这个模型很有可能是错误识别模型（mispecification）。如果要使用该模型，一定要确保研究目标和模型设定的一致性。

    上文，我们说过，加入组别变量主效应项的目的在于区分不同组别的截距，而加入交乘项在于区分不同组别的斜率。现在这个模型只保留了连续型变量主效应项，其实并没有允许区分不同组别的截距。因此，这个常数项的含义为全样本 socst = 0 的平均写作分数。

    交乘项的系数含义为假设男性组别和女性组别的截距是相同的，女性组别的斜率和男性组别斜率之差。

    可以用其他命令 margins 和 lincome 进一步解释为什么使用该模型一定要谨慎小心。

    截距项无区分：

    . reg write socst i.female#c.socst       
. margins, at(female=(0 1) socst = 0) noatlegend

Adjusted predictions                            Number of obs     =        200
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |     Margin   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
         _at |
          1  |    25.0561   2.597064     9.65   0.000     19.93449    30.17772
          2  |    25.0561   2.597064     9.65   0.000     19.93449    30.17772
------------------------------------------------------------------------------

    如下汇报的是不同组别的斜率。

    . margins, dydx(socst) at(female=(0 1)) noatlegend post 

Average marginal effects                        Number of obs     =        200
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : socst

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      dy/dx   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
socst        |
         _at |
          1  |   .4903271   .0500357     9.80   0.000     .3916528    .5890014
          2  |   .5604834    .049094    11.42   0.000      .463666    .6573007
------------------------------------------------------------------------------

    用图形表示如下。这与我们在研究中通常想要分析的情况是不一致的。

    reg write socst i.female#c.socst       
qui margins female, at(socst=(5(5)70))
marginsplot, recast(line) noci addplot(scatter y x,jitter(3) msym(oh))
    Figure 2.png
    • 模型 4：只保留交互项
    . reg write i.female#c.socst

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(2, 197)       =     66.96
       Model |  7235.18229         2  3617.59115   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  10643.6927       197   54.028897   R-squared       =    0.4047
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.3986
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    7.3504

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
female#c.socst |
         male  |   .4903271   .0500357     9.80   0.000     .3916528    .5890014
       female  |   .5604834    .049094    11.42   0.000      .463666    .6573007
               |
         _cons |    25.0561   2.597064     9.65   0.000     19.93449    30.17772
--------------------------------------------------------------------------------

    该模型类似于模型 3，也是我们不建议使用的模型。可以发现，该回归结果与模型 3 的结果是一致的，汇报的是假设不同组别截距项相同的情形下，不同组别的斜率。系数与 margins, dydx(socst) at(female=(0 1)) noatlegend post 汇报的也是一致的。

    3. 实例 3：连续型变量相互交乘 (Continuous by Continuous Interaction)

    • 完整模型
    . reg write c.math##c.socst

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(3, 196)       =     61.55
       Model |  8672.71872         3  2890.90624   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  9206.15628       196  46.9701851   R-squared       =    0.4851
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4772
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    6.8535

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
          math |   .6107585   .2871688     2.13   0.035      .044421    1.177096
         socst |   .5206108   .2675933     1.95   0.053     -.007121    1.048343
               |
c.math#c.socst |  -.0036057   .0051493    -0.70   0.485    -.0137609    .0065494
               |
         _cons |   3.483233   14.32252     0.24   0.808     -24.7628    31.72927
--------------------------------------------------------------------------------

    常数项为 math = 0, socst = 0 时，全样本的写作平均分数。 交乘项的含义为当 math 或者 socst 变化一单位时，writing 对 socst 和 math 做回归的斜率的变动。

    我们可以用图形表示。

    reg write c.math##c.socst
margins, at(math=(30 75) socst=(30(5)70)) vsquish
marginsplot, noci x(math) recast(line)
    3.png
    • 模型 2：去掉主效应项 c.math

    回归结果如下所示。

    . reg write c.socst##c.math

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =       200
-------------+----------------------------------   F(3, 196)       =     61.55
       Model |  8672.71872         3  2890.90624   Prob > F        =    0.0000
    Residual |  9206.15628       196  46.9701851   R-squared       =    0.4851
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =    0.4772
       Total |   17878.875       199   89.843593   Root MSE        =    6.8535

--------------------------------------------------------------------------------
         write |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
---------------+----------------------------------------------------------------
         socst |   .5206108   .2675933     1.95   0.053     -.007121    1.048343
          math |   .6107585   .2871688     2.13   0.035      .044421    1.177096
               |
c.socst#c.math |  -.0036057   .0051493    -0.70   0.485    -.0137609    .0065494
               |
         _cons |   3.483233   14.32252     0.24   0.808     -24.7628    31.72927
--------------------------------------------------------------------------------

    此处，再次强调，引入主效应项的目的在于改变截距。我们可以用图形来感受这句话的含义。除非可以确认截距是一致的，不然在连续变量相互交乘的模型中，应该谨慎去掉主效应项。

    Figure 4.png

    总结

    本篇推文讨论了三种情况下，在包含交乘项的回归中，主效应项是否可以去掉的问题。根据不同的情况，本文给出了不同的分析以及实证建议。

    主要回归命令及实证建议归纳如下。

    use https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/hsbanova, clear \\数据引入

*- 类别变量相互交乘
regress write i.female##i.grp \\完整模型
  margins female##grp

regress write i.grp i.female#i.grp \\模型 2：去掉主效应项 female
  *无模型设定问题，但系数含义改变*

regress write i.female i.female#i.grp \\模型 3：去掉主效应项 grp
  *无模型设定问题，但系数含义改变*

regress write i.female#i.grp \\模型 4：只保留交乘项
  *无模型设定问题，但系数含义改变*

*- 类别变量与连续型变量相互交乘
regress write i.female##c.socst \\完整模型

regress write i.female i.female#c.socst \\模型 2：去掉主效应项 c.socst
  *无模型设定问题，但系数含义改变*

reg write socst i.female#c.socst \\模型 3：去掉主效应项 i.female
  *可能存在模型设定问题*
  margins, at(female=(0 1) socst = 0) noatlegend
  margins, dydx(socst) at(female=(0 1)) noatlegend post 
  reg write socst i.female#c.socst       
    qui margins female, at(socst=(5(5)70))
    marginsplot, recast(line) noci addplot(scatter y x,jitter(3) msym(oh))

reg write i.female#c.socst \\模型 4：只保留交乘项
  *可能存在模型设定问题*

*- 连续型变量与连续型变量相互交乘
reg write c.math##c.socst \\完整模型
  margins, at(math=(30 75) socst=(30(5)70)) vsquish
  marginsplot, noci x(math) recast(line) 

reg write c.socst##c.math \\模型 2：去掉主效应项
  *可能存在模型设定问题*

     

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