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几何分布 ：要等多久才能成功一次？

几何分布 ：要等多久才能成功一次？

作者: 数科每日 | 来源:发表于2022-10-28 18:12 被阅读0次

在生活中，对于概率性的事件，我们常常会问一个问题， 要等待几次， 才能成功？ 比如，车牌摇号，抽奖等等。 如果可以把这个事件抽象成为是贝努里实验 （参考), 那么，我们就可以用几何分布，来解决这个问题。

几何分布

几何分布用于描述对于独立同分布的贝努里随机变量，第一次出现成功需要等待的次数的概率分布。

如果成功的概率为 p, 失败的概率为 1-p, 那么，第一次成功出现在第 n 次实验时的概率为：

(1-p)^{n-1}p

相应的:

  • 平均值： \mu=\frac{1}{p}
  • 方差： \sigma^2=\frac{1-p}{p^2}
  • 标准差: \sigma=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}

例子

问题 1： 如果一个实验（贝努里实验），成功的概率 p=0.35 那么， 首次成功出现在第二次实验时的概率时多少？
分析： 首次实验出现在第二次， 即第一次实验失败， 第二次实验成功， 可以使用几何分布：
(0.65)*(0.65)*(0.35) = 0.148 即 14.8\%。

对于 p=0.35 的几何分布， 我们可以画出其分布：

image.png

问题 2： 对于问题1 中的实验， 首次成功出现在前四次的概率时多少？
分析：
\begin{aligned} &P(n=1,2,3, \text { or } 4) \\ &\quad=P(n=1)+P(n=2)+P(n=3)+P(n=4) \\ &\quad=(0.65)^{1-1}(0.35)+(0.65)^{2-1}(0.35)+(0.65)^{3-1}(0.35)+(0.65)^{4-1}(0.35) \\ &\quad=0.82 \end{aligned}

有 82\% 的概率， 首次实验在前四次实验中即出现。

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