几何分布、二项分布和泊松分布

一、几何分布

1.几何分布适用条件：

1）进行一系列相互独立的试验。

2）每一次试验都既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验的成功概率相同。

3）为了取得第一次成功需要进行的试验次数。

满足以上3个条件，即为几何分布。

2.几何分布概率公式：

其中p为成功概率，q=1-p为失败概率。公式表达的意思是：为了在第r次试验时取得成功，首先要失败r-1次。

3.几何分布适用于不等式：

P(X>r）指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。即前r次试验必须以失败告终。

P(X<=r）指的是为了取得一次成功而需要试验r次或r次的以下概率。

如果一个变量X的概率符合几何分布，且单次试验的成功概率为p，则可以写作：

4.几何分布的期望：

5.几何分布的方差：

6.举例：

一位滑雪者不出意外顺利滑至坡底的概率是0.4,算出以下概率

1）第一次滑雪失败，第二次成功的概率

P(X=2)=p*q=0.4*(1-0.4)=0.24

2）第4次或不足4次就滑雪成功的概率

P(X<=4)=1-q的4次方=1-0.6的4次方=0.8704

3）需要滑雪4次以上才能成功的概率

P(X>4)=q的4次方=0.6的4次方=0.1296

4）期望获得成功而需要滑行的次数

E(X)=1/p=1/0.4=2.5

5）试滑次数的方差

Var(X)=q/p的平方=0.6/（0.4*0.4）=3.75

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二、二项分布

1.二项分布适用条件：

1）进行一系列独立试验。

2）每一次试验都存在成功和失败的可能，且每次成功的概率相同。

3）试验次数有限。

2.二项分布概率公式：

其中：组合公式

3.二项分布可以写成：

其中p是每一次试验成功的概率，n为试验次数。

4.二项分布的期望：

5.二项分布的方差：

6.二项分布与几何分布的区别：

两者的差别在于实际上要求的结果。如果试验次数固定，求成功一定次数的概率，则使用二项分布；如果你想要知道在取得第一次成功之前需要试验多少次，则需要使用几何分布。

7.举例：

某游戏中共有5个问题，每一题有4个选项，每题答对的概率是0.25。

1）答对2题的概率是多少

P(X=2)=5!/(3!*2!)*(0.25*0.25)*(0.75*0.75*0.75)=0.264

2）答对3题的概率是多少

P(X=3)=5!/(2!*3!)*(0.25*0.25*0.25)*(0.75*0.75)=0.0879

3）答对2题或3题的概率

P(X=2或X=3)=P(X=2)+P(X=3)=0.264+0.0879=0.3519

4）一题也答不对的概率是多少

P(X=0)=0.75*0.75*0.75*0.75*0.75=0.237

5）期望和方差是多少

E(X)=np=5*0.25=1.25

Var(X)=npq=5*0.25*0.75=0.9375

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三、泊松分布

1.泊松分布适用条件：

1）单独事件在给定区间内随机、独立的发生，给定区间可以是时间也可以是空间。

2）已知该区间内的事件平均发生次数，且为有限数值。该事件平均发生次数通常用表示。

2.泊松分布可以写成：

X表示给定区间内的事件发生次数，如果X符合泊松分布，且每个给定区间内平均发生次，可写成：

4.泊松分布的期望：

5.泊松分布的方差：

6.泊松分布与其他概率分布的区别：

泊松分布不需要做一系列试验，但它描述了事件在特定区间内的发生次数。

7.泊松分布代替二项分布：

当n很大（>50），p很小（<0.1)，这时可以使用泊松分布代替二项分布，因为大的阶乘不方便计算，而泊松分布与二项分布近似相等。其中=np。