在上个故事中，佛里斯王国的阴谋被聪明的大法官识破，“0÷0”灰头土脸地回到了佛里斯王国，向国王汇报在高斯王国发生的一切。
0÷0：“报告国王，我们的计划被识破了，我也被赶回来了。”
佛里斯国王非常生气，说道：“识破了我们的计划？高斯王国竟然还有这么聪明的人？”
0÷0：“是他们的大法官识破了我们的计划，还规定，在高斯王国0不能做除数。以后要是发现有0做除数的，就马上抓起来。”
佛里斯国王：“可恶的高斯王国，不给他们点颜色看看，难解我心头之恨！还有那个大法官，不是很聪明吗？我这次一定要想一个更难的问题，看他还能不能解决。哼！”
0÷0：“国王，这次出什么样的难题呢？”
佛里斯国王：“让我好好想一想。”
就在他们讨论的时候，一个侍卫走了过来，端着刚刚切好的苹果说：“尊敬的国王，消消气，这是您最喜欢吃的苹果，已经切成块了。等您吃完苹果，再好好想怎么对付那个可恶的高斯王国。”
佛里斯国王看着盘中的苹果，陷入了思考之中，没过一会，就听见他开心的笑起来，旁边人赶紧问道：“国王，难道您这么快就想到了难题？”
国王得意地说：“那是当然，你们看看这个苹果，没有被切以前，可以用哪个数字表示？”
0÷0赶紧回答道：“没切以前，就是一个完整的苹果，可以用数字1表示。”“那现在呢？一个苹果被切成了10块，每一块是几个苹果？”“0个苹果”0÷0脱口而出。
国王瞪了0÷0一眼，大声骂道：“笨蛋！什么叫0个苹果，0就是没有，这么一大块苹果放在你面前，怎么能是0个苹果呢？”“那到底是几个苹果呢？尊敬的国王”0÷0小心翼翼地说。
国王得意地说：“哈哈，比1小，又不是0，曼斯星球上存在这样的数吗？我倒要看看，这次他高斯王国怎么应对，哈哈！”
“妙啊！哈哈，国王您真是太聪明了，这么难的问题，他高斯王国一定解决不了，咱们的恶气终于可以消了，哈哈。”0÷0说道，“尊敬的国王，我马上就出发！”“不，这次我要亲自去，我倒要会一会这个大法官，让他见识见识什么才是真正的聪明，哈哈！”
佛里斯国王走到半路，看到几个高斯王国的孩子正在玩分棋子游戏，只见其中一个小孩说道，把8个棋子平均分成2份，每一份是4个棋子，用算式表示就是8÷2=4。佛里斯国王心想，真是巧了，我正要问他们关于分苹果的问题，就碰到了他们在玩拆分棋子的游戏。想罢厉声问道：“高斯王国的小屁孩，你们在干什么？”“我们在玩分棋子游戏，你又是谁？”“我是佛里斯王国的国王！”“佛里斯王国？就是那个愚蠢的数学王国吗？”佛里斯国王火冒三丈，大声说道：“你说什么，敢这么跟我说话？！说我们佛里斯王国愚蠢，你们高斯王国就非常聪明吗？我现在就出一个问题考考你们，看你们能不能答出来！哼！”“什么问题？”孩子们不服气地说道。“把8个棋子平均分成2份，每一份是4个棋子，那把1个棋子平均分成2份，每一份是多少个棋子呢？”说完得意的看着他们。
这下可不好了，几个孩子你看看我，我看看你，都不知道该怎么回答佛里斯国王，过了好一会儿，其中一个孩子低声说道：“1个棋子还能再平均分吗？”佛里斯国王说道：“当然可以，如果分1个棋子你们没见过，那切苹果总见过吧？把一个苹果平均分成2份，每一份是几个苹果？”孩子们听完以后更加惊讶了，只见佛里斯国王在那里得意的哈哈大笑：“哈哈，这就是聪明的高斯王国吗？这么简单的问题都不会，还有什么资格嘲笑我们佛里斯王国，哼！以后别再自称什么曼斯星球最严谨的数学王国，你们不配！”
“有本事你等着，我们这就去找聪明的大法官，他一定能解决这个问题！”“去吧，赶紧把他叫过来，我倒要看看他有多大能耐，哈哈！”说完，孩子们飞快地奔向大法官的家里。就在孩子们走后，佛里斯国王又哈哈大笑到：“真是一群愚蠢的人，这么难的题怎么可能有答案，哈哈，辛亏他们没反问我，要是他们反问我，就尴尬了，哈哈，真愚蠢！”
“大法官！大法官！不好了，出大事了！大法官！”
“慢点，慢点，孩子们，发生什么事了，这么慌慌张张。”
“刚才我们在外面碰到一个人，说是佛里斯王国的国王，给我们出了一个难题，我们都不会，还说我们高斯王国不配做曼斯星球最严谨的数学王国。”
“哦，看来他们还是不死心，是什么样的难题？”
“把1个苹果平均分成2份，每1份是多少个苹果？聪明的大法官，1还能再平均分吗？比1小的数只有0，可是又不能说是0个苹果，怎么办啊？”
“原来是这个啊，哈哈，孩子们，不用着急，坐下来，我先给你们讲一个故事。在很久很久以前，我们的祖先里有两个兄弟，有一天，哥哥与弟弟在玩一个游戏，每人说一个数字，看看谁的数字大。如果是你们现在玩这个游戏，你们会说哪个数字呢？”
“10000！我听到过的最大的数字就是10000。”
“不对，10000不是最大的数字，1亿就比它大！好像就不存在最大的数字，可以无限大。”
“对，如果没有实际意义，是不存在最大的数字的，你可以在1的后面写无数个0。现在的我们很容易理解这个问题，可是你们知道吗？就在我刚才讲的故事中，弟弟说出了他知道的最大的数、字、是、3！”
“3？！不会吧，这也太小了”
“没错，弟弟就是说了一个3，是不是觉得很不可思议？更加不可思议的是，哥哥竟然认输了，他找不出比3更大的数字！”
“这是怎么回事啊？”
“原因就是，你们现在熟知的许多数学知识，并不是自然而然就存在的，包括我们现在写的数字1-9的样子，都是我们的祖先一点一点发明创造出来的。”
“都是我们的祖先发明创造出来的？”
“是的，不光是数字，就连加、减、乘、除四则运算，也都是我们的祖先发明创造出来的。”
“这简直太神奇了！”
“我还听我爷爷的爷爷的爷爷的爷爷说过，我们现在非常熟悉的数字0，也是经过了很大的波折才发明出来，并被我们高斯王国接受的。在这个过程中，甚至还有人因为坚持有0这个数字被抓了起来。”
“天呐，还有这种事情存在。”
“你们知道我为什么讲这个故事吗？”
“不知道。”
“刚才你们遇到的问题，我们现在确实还没有办法解决，在我们现在的高斯王国里，比1小的数就只有0，但1个苹果平均分成2份，每一份显然不可能是0个苹果。”
“对对对，这可怎么办啊？”
“难道需要发明创造新的数字了吗？大法官。”
“是的，现在看来，确实需要发明创造新的数字了，孩子们，我们现在就来一起创造，一起发明吧！”
“欧耶！太棒了，没想到我们也可以跟之前伟大的数学家一样发明数学、创造数学了，这一定是非常棒的体验！”
“可是该怎么发明呢？”
“能不能用画图表示呢？就像这样。”
“我觉得不太好，画图只能表示特例。”
“那用一个圆来代替所有的情况怎么样？就像数字1既可以表示1个苹果，也可以表示1本书，我们都用1个圆表示。”
“这样可以是可以，但感觉没有真正解决问题，创造新的数字，难道不应该用数字符号表示吗？”
“对，圆确实可以表示图形语言，但最重要的还是发明数学符号语言。”
“我觉得，可以根据这个具体的情景来创造。”
“什么意思？可以说得再清楚一些吗？”
“你们看，我们遇到的问题是把1个苹果平均分成2份，每一份是几个苹果。又是1，又是2份，又是平均分。可以把他们结合起来创造新的数字，就像这样。”
“快给我们解释一下表示什么意思吧。”
“数字2表示把1个苹果平均分成2份。”
“那1就表示1个苹果吧？”
“不是，1表示2份中的1份。一竖就表示平均分。”
“那其中的1份是多少个苹果呢？”
“就是这个数个苹果啊。”
“这个数个苹果，听起来好别扭，我们再给它起个名字吧？”
“嗯，那就叫2份之1吧，2份里面的1份嘛。”
“太好了，我觉得稍微改一下就更好了，把“份”改成“分”，读作2分之1更好。”
“2分之1？”
“是的，你看，我们这个问题说得是把1个苹果平均分成2份，每一份是多少个苹果。除了1个苹果，分成2份，每一份这些信息以外，还有一个关键信息就是平均分。2就可以表示2份，但还没有强调平均分，把份改成分，就可以表示平均分成了2份。”
“我同意，我觉得这样子会更合理。”
“大法官！我们创造出来新的数字了，你看，就是这个，读作2分之1，表示把一个苹果平均分成2份，其中的一份就是2分之1个苹果。”
“嗯，乖孩子，你们的讨论我都看到了，真的非常棒！我可以给你们提一个建议吗？”
“什么建议？大法官，您尽管说。”
“你们想想，两个2分之1写在一起会是什么样子呢？”
“写在一起，可能引起误会，不小心就会看成平均分成了21份。”
“那怎么改一下就不会引起误会了呢？”
“有了，我们可以把这个数立起来，就这样子写。”
“这样子，两个2分之1写在一起，就不会引起误会了。”
“非常棒，那你们计划给这一类数字起个什么名字呢？”
“这一类数字？”
“对啊，一个苹果除了平均分成2份以外，难道不可以平均分成3份吗？那每一份是多少个苹果呢？”
“3分之1个苹果。”
“嗯，那像2分之1，3分之1这一类的数字，要不要给它们起个统一的名字呢？”
“需要起一个名字，叫分数好不好，平均分成的数。”
“嗯嗯，分数好，就叫分数。”
“孩子们，你们太棒了，大家集思广益，一起讨论，这么快就把这个难题给解决了！”大法官开心地说道。
“大法官，我还有一个想法，不知道行不行。”
“好孩子，有什么新的想法就勇敢的说出来，不要害怕，在探索、创造的过程中，出现的任何错误都不是真正的错误。”
“嗯，我联想到了测量长度单位的发明过程。还记得我们祖先发明了1米长的单位以后，在测量比1米短的物体时，是怎么办的吗？”
“我知道，我们祖先又把1米平均分成了10份，创造出了新的长度单位——1分米，也就是1米=10分米，这样在测量比1米短的物体时，就可以用分米做单位去测了。”
“可是，这个与我们现在讨论的问题有关系吗？”
“有关系，我们现在遇到的问题就是1能不能再平均分，类似把1米平均分成10份，每一份是1分米，我们可以尝试规定把1个苹果平均分成10份，每一份是多少。”
“把1米平均分成10份，每一份是1分米，虽然都是1，但是单位变了，所以意义也就变了。可是我们现在是直接平均分1个苹果，没有单位让我们用，难道我们也要发明一个新的单位，比如规定1个苹果等于10块苹果吗？”
“如果要发明新的单位，这得发明多少个单位啊，分苹果要一个单位，分西瓜也要一个单位，分牛奶也要一个单位……，这也太多了吧。”
“我们不用变换单位的方法，直接规定把1平均分成10份，每一份是多少就行。”
“那是多少呢？”
“既然是问每一份是多少，我觉得肯定要有数字1，就像10、100、1000都包含数字1，只不过要再加点东西。”
“加、点、东、西？我们经常会说一点点，要不就加一个“点”吧！读作“点1”，也就是把1平均分成10份，每一份就是“点1”。”
“那为什么点要在1的左边，在右边可以吗？”
“这个就是从我们已经知道的整数数位得到的启发。我们已经知道了千位、百位、十位、个位这些数位，把1个千平均分成10份，每一份就是1个百，把1个百平均分成10份，每一份就是1个十，把1个十平均分成10份，每一份就是1个一，把1个一平均分成10份，每一份就、是……”
“点1！”其他孩子异口同声地说道。
“对，从左到右依次是千位、百位、十位、个位，把点加到数字1的左边，能起到区分的作用。”
“太棒了！我还是觉得有些怪，能不能在点的左边再加上一个数字呢？”
“那就加0吧，0不就表示没有嘛，读作0点1。”
“0.1好！”
“我也觉得0.1更好。”
“那给这类数字起个什么名字呢？”
“感觉也是在平均分，只不过分数已经用过了，还有没有其他名字呢？”
“叫小数吧，比1小的数，哈哈。”
“同意，就叫小数吧。”
“好了，回到我们刚才讨论的问题，把一个苹果平均分成2份，每一份是多少个苹果呢？”
“我们刚才发明的小数是把1个苹果平均分成10份，每一份是0.1个苹果，如果平均分成2份，每一份里有几个0.1呢？”
“5个0.1，那就应该是0.5了吧。”
“对，就是0.5个苹果。”
“大法官，你看我们发明、创造这样的数字可以吗？”
“当然可以啊，孩子们，你们太棒了，你一言我一语，大家一起讨论，又创造出了一种新的数字！”
就在他们热烈讨论的同时，天上突然出现了一道亮光，照得他们都睁不开眼睛了。等到亮光消失，他们惊奇地发现身边多了两个小孩，仔细一看，其中一个孩子的身上写着“1÷2”，额头上赫然写着“1/2”；而另一个孩子的身上写着“1÷10”，额头上的数字是“0.1”。
“哇塞！这就是我们刚才发明、创造出来的新数字——分数和小数吗？”
“太棒了！我们真的发明、创造新的数字了耶！分数、小数，欢迎你们加入我们高斯王国的大家庭，这下我们高斯王国就更兴旺了！”
就在他们沉浸在创造出新数字的喜悦中时，突然出现了一阵急促的敲门声，“咚！咚！咚！这里是大法官的家吗？！”吓得他们赶紧跑去开门，原来是佛里斯国王在外面等不及了，自己找了过来。
“一群胆小鬼，回答不上我的难题，连面都不敢出现了！”
“谁说我们回答不上你的难题！”一个小孩勇敢的站了出来，“我们不仅能回答你的问题，还能用两种不同的方法回答！”
“什么？你们能用两种不同的方法回答我的难题？哈哈，我可不是三岁小孩子，你们骗不了我！”
“不信你看，这是什么。”
佛里斯国王看了看刚才出现的两个孩子，大吃一惊，脸色刷的一下变得铁青，嘴里一直念叨：“不可能，这肯定是假的，我长这么大，从来没有在曼斯星球上看到这样的数，这肯定是假的，你们骗不了我！”，
“你要不信我可以给你解释！你不是问我们把一个苹果平均分成2份，每一份是多少个苹果吗？我现在就告诉你，每一份是1/2个苹果，其中数字2表示把一个苹果平均分成2份，数字1表示其中的1份，合起来就表示每一份是1/2个苹果。”
“那另外一个是怎么回事？”
“另外一个，是我们仿照位值制，规定把1个一平均分成10份，每一份是0.1，这样的话，把一个苹果平均分成2份，每一份就是5个0.1，也就是0.5个苹果。”
听了这个孩子的回答，佛里斯国王彻底惊呆了，不知道该怎么回答，呆呆地站在原地。
就在这时，大法官走了过来，礼貌地说道：“尊敬的佛里斯国王，没想到您这次亲自过来了，先去屋里喝杯水吧，我们还要好好的感谢您。”
“什么？感谢他？！难道感谢他给我们出难题，为难我们？”几个小孩不理解地问道。
大法官笑着看了看孩子们，但并没有说话。
“这个，这个……”佛里斯国王尴尬地不知道说什么。
“尊敬的佛里斯国王，你知道我们高斯王国的数学为什么得到了大家的认可吗？”
“这个，这个……” 佛里斯国王还是不知道说什么。
“不是因为我们最聪明，不会犯错。”
“那是什么？” 佛里斯国王好奇地问。
“是因为我们有一颗探索的心，遇到难题，我们会勇敢地去探索，讨论，直到把问题最终解决。我们不怕难题，更不怕出错，犯了错，我们不会去想是不是因为我们不够聪明，而是去思考到底哪里错了，为什么错了，怎么去改正。”大法官继续说道，“我们不会因为犯了错而不好意思，恰恰相反，如果犯了错，说明遇到了真正的问题，解决了这个问题，我们就能获得真正的进步。如果因为害怕出错而不敢面对难题，不敢去挑战，那还怎么进步呢？如果是这样，那才是真正的不聪明啊。”
“原来是这样。”佛里斯国王若有所思的说。
“我们经常切苹果吃，但却没有一个人想到其中的1块是多少个苹果这样的问题。如果不是您给我们出这个难题，我们就不会去思考把1平均分以后该用什么数字表示。也就不会发明、创造出分数和小数了。孩子们，你们说，我们该不该谢谢佛里斯国王呢？”
“要是这样想的话，我们确实应该感谢他，刚才我们一起讨论、探索、创造、发明新的数字，这个过程真的太奇妙了！”
“站着说了这么久，进来喝杯水吧。”
“嘿嘿，谢谢了，我出门已经很久了，王国里还有很多事情需要我去处理，就不打扰了，再见。” 刚说完，佛里斯国王就一溜烟走了。
“大法官，听您这么一说，我现在都没那么讨厌佛里斯王国了，他们虽然经常给我们出难题，捣乱，但我们每一次把问题解决以后，都比以前更加强大了，更加严谨了。”
“是的，孩子们，比起要不要感谢，要不要讨厌他们，还有一个更加重要的问题需要我们去思考，你们知道是什么嘛？”
“我知道，您刚才已经说了，这么好的问题，为什么我们就没有发现呢？”
“是的，能够发现问题，提出问题，也是一种非常重要的能力，说明我们在真正的思考。这个问题虽然我们已经错过了，但还有其他很多问题需要我们去发现，去探索。我们刚才发明的分数、小数，就还有很多很多问题没有解决，你们都能想到什么问题呢？”
“刚才我们只是命名了分数，还没有给分数的每一部分命名呢。”
“整数有数位，小数能与整数联系起来，那小数有没有数位呢？”
“小数和分数解决的都是平均分的问题，那它们之间有什么关系吗？”
“整数可以比大小，分数和小数也是数，那它们也能比大小吗？”
“整数可以进行四则运算，分数和小数也能够进行四则运算吗？”
“……”
“哈哈，孩子们，你们太棒了，有这么多问题等着我们，尽情地去探索、去创造吧！”
“嗯嗯，大法官，我还有最后一个问题。”
“什么问题呢？”
“您刚才说，如果因为害怕而不敢挑战，是不聪明的表现。那真正的聪明是什么呢？”
“真正的聪明啊，就是把自己该做的，能做的事情努力做到最好。”大法官微笑地说到。
……
“那什么才是我们该做的，能做的事情呢？”
“哈哈，这就需要你们在学习中多思考了，你们现在还小，如果想不明白，就多听听大人的建议吧。”
“明白了，大法官，谢谢您，我们去探索刚刚说到的问题了，再见。”
“嗯，孩子们，去吧，再见。”
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