Euclid GCD算法原理

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很早就学过欧几里得算法，但是一直不知道它的原理。几乎每本算法书都会提到它，但是貌似只有数学书上才会见到它的原理。。。前段时间粗粗看了点数论（《什么是数学》），惊讶于这个原理的奇妙。现在把它通俗地写下来，以免自己忘记。欧几里得算法是求两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor (GCD))的算法，我们首先假设有两个数 和 ，其中 是不小于 的数，记 被 除的余数为 ，那么 可以写成这样的形式：
其中 是整数（我们不需要去管 到底是多少，这和我们的目标无关）。现在假设 和 的一个约数为 ，那么 和 都能被 整除，即
和 都是整数（同样的，我们只需要知道存在这样的整数 和 就行）。这样可以得出
所以 也能被 整除，一般规律如下

和 的约数也整除它们的余数 ，所以 和 的任一约数同时也是 和 的约数。 —— 条件一

反过来可以得出

和 的任一约数同时也是 和 的约数。 ——条件二

这是因为对 和 每一个约数 ，有
于是有
由条件一和条件二可知

和 的约数的集合，全等于 和 的约数的集合。

于是

和 的最大公约数，就是 和 的最大公约数。

接下来用递推法，
余 ，现在设
余
余
……
余
余

因为 ，可以看出余数 会越来越小，最终变成 .
当 且 时，可知 可被 整除（余数为 嘛）
此时 和 的约数就只有： 和 的因数，
所以他们的最大公约数就是 ！
所以 就是 和 的最大公约数。（若 ，则 为最大公约数）

这个递推法写成c语言函数是这样的（比推导更简洁…）:

unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){
    unsigned int Rem;
    while(N){
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return Rem;
}

可以发现这里没有要求 M>=N，这是因为如果那样，循环会自动交换它们的值。

P.S. 此外，还有最小公倍数(Least Common Multiple (LCM))算法，详见 GCD and LCM calculator