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勒让德变换

勒让德变换

作者: R_est | 来源:发表于2021-02-06 13:39 被阅读0次

  • 为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系f(x)，改用一个新函数 f^*(p) 来表示。其中，p=\frac{df}{dx}，f^*(p)为截距的负值， f^*(p)=px-f(x)，这样的变换称为勒让德变换。

  • 分部积分与勒让德变换
    f(x)和f^*(p)为彼此的勒让德变换，则有p=\frac{df}{dx}和x=\frac{df^*}{dp},
    由分部积分可得，d(px)=pdx+xdp=\frac{df}{dx}dx+\frac{df^*}{dp}dp=df+df^*，
    这意味着df^*=d(px)-df，即f^*=px-f

  • 练习和理解

考虑几个函数，来理解勒让德变换：
1.f(x)=C,(C为常数)
失效？

2.f(x)=Cx,(C为常数)
失效？

  1. f(x)=x^2,(a为常数)
    f^*(p)=px-x^2,p=2x
    f^*(p)=\frac{1}{4}p^2
    在x_0处的切线方程 g(x)=2x_0 (x-x_0)+x_0 ^2，截距为g(0)=-x0^2=-\frac{1}{4}(2x_0)^2=-f^*(2x_0)

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