神奇兔子数列

假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

（1）问题分析

我们不妨拿新出生的1对小兔子分析：

第1个月，小兔子①没有繁殖能力，所以还是1对。

第2个月，小兔子①进入成熟期，仍然是1对。

第3个月，兔子①生了1对小兔子②，于是这个月共有2（1+1=2）对兔子。

第4个月，兔子①又生了1对小兔子③。因此共有3（1+2=3）对兔子。

第5个月，兔子①又生了1对小兔子④，而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤。共有5（2+3=5）对兔子。

第6个月，兔子①②③各生下了1对小兔子。新生3对兔子加上原有的5对兔子这个月共有8（3+5=8）对兔子。

……

为了表达得更清楚，我们用图示来分别表示新生兔子、成熟期兔子和生育期兔子，兔子的繁殖过程如图1-10所示。

图1-10　兔子繁殖过程

这个数列有十分明显的特点，从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生的兔子正好是上上月的兔子数。因此，前面相邻两项之和，构成了后一项，即：

当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数

斐波那契数列如下：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

递归式表达式：

那么我们该怎么设计算法呢？

哈哈，这太简单了，用递归算法很快就算出来了！

（2）算法设计

首先按照递归表达式设计一个递归算法，见算法1-8。

//算法1-8

Fib1(int n)

{ if(n<1)

       return -1;

  if(n==1||n==2)

        return 1;

   return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);

}

写得不错，那么算法设计完成后，我们有3个问题：

算法是否正确？

算法复杂度如何？

能否改进算法？

（3）算法验证分析

第一个问题毋庸置疑，因为算法1-8是完全按照递推公式写出来的，所以正确性没有问题。那么算法复杂度呢？假设T(n)表示计算Fib1(n)所需要的基本操作次数，那么：

n=1时，T(n)=1；n=2时，T(n)=1；n=3时，T(n)=3；//调用Fib1(2)、Fib1(1)和执行一次加法运算Fib1(2)+Fib1(1)

因此，n>2时要分别调用Fib1(n−1)、Fib1(n−2)和执行一次加法运算，即：

n>2时，T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1；

递归表达式和时间复杂度T(n)之间的关系如下：

那么怎么计算F(n)呢？

有兴趣的读者可以看本书附录A中通项公式的求解方法，也可以看下文中的简略解释。

斐波那契数列通项为：

当n趋近于无穷时，

如果我们今年计算出了F(100)，那么明年才能算出F(101)，多算一个斐波那契数需要一年的时间，爆炸增量函数是算法设计的噩梦！算法1-8的时间复杂度属于爆炸增量函数，这在算法设计时是应当避开的，那么我们能不能改进它呢？

（4）算法改进

既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和，如果记录前两项的值，只需要一次加法运算就可以得到当前项，时间复杂度会不会更低一些？我们用数组试试看，见算法1-9。

//算法1-9Fib2(intn){if(n<1)return-1;int*a=newint[n];//定义一个数组a[1]=1；a[2]=1;for(inti=3;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+a[i-2];returna[n];}

很明显，算法1-9的时间复杂度为О(n)。算法仍然是按照F(n)的定义，所以正确性没有问题，而时间复杂度却从算法1-8的指数阶降到了多项式阶，这是算法效率的一个巨大突破！

算法1-9使用了一个辅助数组记录中间结果，空间复杂度也为О(n)，其实我们只需要得到第n个斐波那契数，中间结果只是为了下一次使用，根本不需要记录。因此，我们可以采用迭代法进行算法设计，见算法1-10。

//算法1-10Fib3(intn){inti,s1,s2;if(n<1)return-1;if(n==1||n==2)return1;s1=1;s2=1;for(i=3;i<=n;i++){s2=s1+s2;//辗转相加法s1=s2-s1;//记录前一项}returns2;}

迭代过程如下。

初始值：s1=1；s2=1；

当前解　　　 记录前一项

i=3时s2=s1+s2=2s1=s2−s1=1

i=4时s2=s1+s2=3s1=s2−s1=2

i=5时s2=s1+s2=5s1=s2−s1=3

i=6时s2=s1+s2=8s1=s2−s1=5

……　　　　　 ……　　　　　 ……

算法1-10使用了若干个辅助变量，迭代辗转相加，每次记录前一项，时间复杂度为О(n)，但空间复杂度降到了О(1)。

问题的进一步讨论：我们能不能继续降阶，使算法时间复杂度更低呢？实质上，斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶О(logn)，有兴趣的读者可以查阅相关资料。想想看，我们把一个算法从指数阶降到多项式阶，再降到对数阶，这是一件多么振奋人心的事！

（5）惊人大发现

科学家经研究在植物的叶、枝、茎等排列中发现了斐波那契数！例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数1，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中，叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数植物的叶序比呈现为斐波那契数的比，例如，蓟的头部具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的斐波那契螺旋，向日葵的种子的圈数与子数、菠萝的外部排列同样有着这样的特性，如图1-11所示。

图1-11　斐波那契螺旋（图片来自网络）

观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们的花瓣数目为斐波那契数：3，5，8，13，21，…。如图1-12所示。

图1-12　植物花瓣（图片来自网络）

树木在生长过程中往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（例如一年）以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数便构成斐波那契数列，这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样的。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有相近的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤太多的种子而在圆周处却又很稀疏。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5°，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360°之比是黄金分割数0.618的倒数，而这种生长方式就导致了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列的规律长出花瓣。

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，斐波那契数列前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618：1÷1 = 1，1÷2 = 0.5，2÷3 = 0.666，…，3÷5 = 0.6，5÷8 = 0.625，…，55÷89 = 0.617977，…，144÷233 = 0.618025，…，46368÷75025 = 0.6180339886……

越到后面，这些比值越接近黄金分割比：

斐波那契数列起源于兔子数列，这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活，生活中我们需要不断地通过现象发现数学问题，而不是为了学习而学习。学习的目的是满足对世界的好奇心，如果我们怀着这样一颗好奇心，或许世界会因你而不同！斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质，随着数列项的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时，我彻底被震惊到了，因为数学可以表达美，这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时，我们会发现数学本质上是可以回归到自然的，这样的事例让我们感受到数学的美，就像黄金分割、斐波那契数列，如同大自然中的一朵朵小花，散发着智慧的芳香……