本章的主要目标：对于一个以温度的函数为主的系统，我们要寻找一个基本原理，使得我们能够计算这个系统的一系列物理性质。
就跟第一章时我们主要考虑自旋模型系统一样，本章主要研究的是开放系统。它主要具有以下特点：
（i）我们把它称为系统
。
（ii）它与一个十分巨大的热库
（比如宇宙）接触并处于热平衡
（iii）系统与热库具有相同的温度
。
（iv）合系统
依然是封闭的，所以合系统总能量
守恒。
玻尔兹曼因子
（i）
热物理的核心问题之一：寻找系统会出现在某个特定量子态
，具有能量
的概率。稍后将会证明，这个概率与玻尔兹曼因子成正比。
（ii）
根据之前的内容，由两个简并度分别为，
的子系统组成的合系统的简并度为
。
现在，对于本章的合系统而言，如果我们已经确定了系统的量子态为
，那么其简并度相应的该是
。
于是，合系统（系统和热库）的简并度为，即等于热库
的简并度。
（iii）
我们现在把合系统的总能量用表示。如果系统
的能量我们用
表示，热库
则具有能量
。于是热库的简并度可以表示为
。再根据（ii），合系统的简并度也为
。
（iv）
根据热物理基本假设，我们现在知道了系统的简并度，想要得到其出现在某个量子态的概率，我们必须先要知道归一化系数，即，从而使得
。但有一个方法可以避开担心归一化的问题——计算系统出现在两个不同量子态（比如态
和态
）的概率的比值：
（v）
当热库非常非常大时，我们可以将简并度用熵来表示：
为了方便表示，
于是，
（vi）
接下来我们做物理学家最喜欢做的事之一——泰勒展开。
以为中心，对熵
进行泰勒展开：
当热库足够大时，二阶项以上均可被忽略。
（vii）
代入（v）中，可以得到：
所以，
我们把等式右边称为玻尔兹曼因子(Boltzmann factor)，它是系统在两个不同量子态概率的比值。
或者，根据热物理基本假设，概率与玻尔兹曼因子成正比，即
这是玻尔兹曼分布(Boltzmann distribution)，是统计力学中几个常见概率分布之一，有着重要意义。
配分函数
为了使得总概率为一：
我们接下来要将玻尔兹曼因子归一化。
不妨考虑表达式：
其中归一化系数待定。
代入归一化条件，可以得到：
出于一些我不知道的历史原因，物理学家把系数
（一个关于温度的函数）称为配分函数(partition function)：
（i）它是系统所有态对应的玻尔兹曼因子的代数和：
（ii）很好验证，
于是，归一化后的概率表达式为：
这是统计物理学中最有用的几个表达式之一。
利用这一结果，我们现在可以考虑系统的平均能量（记为
，不包括热库）或者，系综平均：
配分函数对温度
的一阶导为：
于是
代入平均能量中，可将其改写成：
第二个等式为计算系统平均能量提供了一个捷径：只需要找出系统的配分函数。
（例）
让我们考虑仅含有一个微粒的系统。这个微粒具有两个态，态对应能量为
；态
对应能量为
。微粒与热库处于热平衡，具有温度
。我们想要找出系统的能量——作为一个关于温度
的函数。
根据上面的表达式，对于只有两个态的系统，配分函数很好找:
将其代入上面表达式中的不管哪一个，都可以得到：
需要注意，即便只有两个态，虽然能量差相同，如果我把二者对应的能量改为
和
，最后的结果会有差异：
；
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