问题描述

给定两个 1 到 n 的排列 A,B （即长度为 n 的序列，其中 [1,n] 之间的所有数都出现了恰好一次）。

求它们的最长公共子序列长度。

子序列： 一个序列A ＝ a1,a2,……an,中任意删除若干项，剩余的序列叫做A的一个子序列。也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若干项得到的序列。

求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2的m次方个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2的m次)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。
先假设有 C[i,j] = | LCS(x[1...i] , y(1...j)) |，则有

image.png

// n：表示两序列长度
// a：描述序列 a（这里需要注意的是，由于 a 的下标从 1 开始，因此 a[0] 的值为-1，你可以忽略它的值，只需知道我们从下标 1 开始存放有效信息即可） 
// b：描述序列b（同样地，b[0] 的值为 -1）
// 返回值：最长公共子序列的长度
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <cstdlib>  
#include <algorithm>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <map>  
#include <set>  
#include <vector>  
#include <iostream>
#include <utility>
using namespace std;
#define PII pair<int,int> 
#define PIII pair<pair<int,int>,int> 
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define sz size() 
#define fi first
#define se second
typedef unsigned int ui;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
vector<int> pos,a,b,f;
int getAns(int n,vector<int>a,vector<int>b){
    f.resize(n+1);pos.resize(n+1);
    for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=n+2;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        pos[b[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i]=pos[a[i]];
    }
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    *lower_bound(f.begin(),f.end(),a[i])=a[i];
    return int(lower_bound(f.begin(),f.end(),n+1)-f.begin())-1;
}
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    a.resize(n+1);b.resize(n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&b[i]);
    }
    printf("%d\n",getAns(n,a,b));
    return 0;
}

输出结果

5
1 2 4 3 5
5 2 3 4 1
2