弦振动方程的解法

微分方程基础

本文所言的方程基本上是微分方程，而非中学阶段所言的代数方程，微分方程的求解目标一般是一个函数，而代数方程的解一般是一个值。下面给出两例来介绍微分方程和代数方程的区别。

下列方程是一个典型的代数方程：

根据中学阶段所学的知识，可以解出方程的两个代数解：

下列方程是一个典型的微分方程：

根据本科阶段所学的知识，可以解出方程的通解：

但是上述的微分方程是常微分方程，常微分方程只有一个变量。而对于弦振动来说，位置

和时间都是变量，故而弦振动方程是一种偏微分方程。

弦振动方程介绍

弦振动方程是波动方程的一种，是局限在一维空间内的波动方程。我们假定弦上在位置处的一点，在时间时刻，偏移平衡位置的偏移量是，那么偏移的加速度就是关于求两次偏导数，而弦的弯曲程度（凹凸性）是关于的二阶偏导数。

易于理解，当为正数时，意味着弦在这里向下凸，类似于”U“字型。这个地方在两端的拉力下，拉力的左右分力相互抵消，只剩下向上的分力。这个地方应该向上有加速度，所以也为正。同样地，当为负数时，类似于”∩“字型，加速度为负。

通过物理背景，我们可以列出弦振动方程：

偏移量的国际单位是，它关于求两次偏导数，所得加速度的单位是，而右边的单位是，这样，我们可以得到的单位是，实验现象表明，这里的就是波速。

分离变量法解弦振动方程

上文我们列出了弦振动方程的偏微分方程，对于有限长弦振动问题，我们可以尝试用分离变量法来求解弦振动方程。

如果弦长，并且弦两端固定，那么可以得到偏微分方程的两个边界条件：

在物理现象中，代表空间的和代表时间的是可以分离的。

假定，代入原偏微分方程，得到：

变形

令这个数值为，即，我们得到了两个常微分方程：

当时，考虑到边界条件的话，只能得到零解

当时，根据本科学习的知识，可以解出的通解：

考虑到边界条件，即

可知

我们可以解出

下面我们再关注，我们可以解出的通解：

实际上，因为可以取不同的值，是一系列波的叠加：

故而，我们得到了有限长弦振动方程的一般解：

如果能给出初始条件，便能确定和的值，从而得到了有限长弦振动方程的特解。

行波法求解弦振动方程

在无限长的弦上，一切的波动都可以看做一个左行波和一个右行波的叠加。故而可以假设

上面这个方程恰好满足弦振动方程，是无限长弦振动方程的通解。

如果我们有初始条件（弦的初始形状和初始速度）：

将通解代入

对后者求一次不定积分可得

可以分别解出和：

那么，

这一结论又称为d'Alembert公式、