我们首先来看，什么是 “ 树 ” ？再完备的定义，都没有图直观。所以我在图中画了几棵 “ 树 ” 。你来看看，这些 “ 树 ” 都有什么特征？
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你有没有发现， “ 树 ” 这种数据结构真的很像我们现实生活中的 “ 树 ” ，这里面每个元素我们叫作 “ 节点 ” ；用来连线相邻节点之间的关系，我们叫作 “ 父子关系 ” 。
比如下面这幅图，A节点就是B节点的父节点，B节点是A节点的子节点。B、C、D这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫作根节点，也就是图中的节点E。我们把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的G、H、I、J、K、L都是叶子节点。
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除此之外，关于“树”，还有三个比较相似的概念：高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）。它们的定义是这样的：
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这三个概念的定义比较容易混淆，描述起来也比较空洞。我举个例子说明一下，你一看应该就能明白。
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记这几个概念，我还有一个小窍门，就是类比 “ 高度 ”“ 深度 ”“ 层 ” 这几个名词在生活中的含义。
在我们的生活中， “ 高度 ” 这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第 10 层楼的高度、第 13 层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是 0 。
“ 深度 ” 这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且
计数起点也是 0 。
“ 层数 ” 跟深度的计算类似，不过，计数起点是 1 ，也就是说根节点的位于第 1 层。
二叉树（ Binary Tree ）树结构多种多样，不过我们最常用还是二叉树。
二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。我画的这几个都是二叉树。以此类推，你可以想象一下四叉树、八叉树长什么样子。
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这个图里面，有两个比较特殊的二叉树，分别是编号 2 和编号 3 这两个。
其中，编号2的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。
编号3的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。
满二叉树很好理解，也很好识别，但是完全二叉树，有的人可能就分不清了。我画了几个完全二叉树和非完全二叉树的例子，你可以对比着看看。
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你可能会说，满二叉树的特征非常明显，我们把它单独拎出来讲，这个可以理解。但是完全二叉树的特征不怎么明显啊，单从长相上来看，完全二叉树并没有特
别特殊的地方啊，更像是 “ 芸芸众树 ” 中的一种。
那我们为什么还要特意把它拎出来讲呢？为什么偏偏把最后一层的叶子节点靠左排列的叫完全二叉树？如果靠右排列就不能叫完全二叉树了吗？这个定义的由来
或者说目的在哪里？
要理解完全二叉树定义的由来，我们需要先了解，如何表示（或者存储）一棵二叉树？
想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。
我们先来看比较简单、直观的链式存储法。从图中你应该可以很清楚地看到，每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。
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我们再来看，基于数组的顺序存储法。我们把根节点存储在下标i = 1的位置，那左子节点存储在下标2 * i = 2的位置，右子节点存储在2 * i + 1 = 3的位置。以此类
推， B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。
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我来总结一下，如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。
不过，我刚刚举的例子是一棵完全二叉树，所以仅仅 “ 浪费 ” 了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。你可以看我举的下面这个例子。
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所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。
当我们讲到堆和堆排序的时候，你会发现，堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组。
二叉树的遍历前面我讲了二叉树的基本定义和存储方法，现在我们来看二叉树中非常重要的操作，二叉树的遍历。这也是非常常见的面试题。
如何将所有节点都遍历打印出来呢？经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。
1.前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
2.中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
3.后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。
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实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如，前序遍历，其实就是先打印根节点，然后再递归地打印左子树，最后递归地打印右子树。
写递归代码的关键，就是看能不能写出递推公式，而写递推公式的关键就是，如果要解决问题 A ，就假设子问题 B 、 C 已经解决，然后再来看如何利用 B 、 C 来解
决 A 。所以，我们可以把前、中、后序遍历的递推公式都写出来。
前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
有了递推公式，代码写起来就简单多了。这三种遍历方式的代码，我都写出来了，你可以看看。
void preOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
void inOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
inOrder(root->left);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
inOrder(root->right);
}
void postOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}
二叉树的前、中、后序遍历的递归实现是不是很简单？你知道二叉树遍历的时间复杂度是多少吗？我们一起来看看。
从我前面画的前、中、后序遍历的顺序图，可以看出来，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n) 。
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