轨迹插值方法

参考文献：
[1]周鹏,陈金海,林乾锋,梅强,黄鹏飞.基于AIS的轨迹插值方法[J].集美大学学报(自然科学版),2018,23(06):443-447.

插值原理

以数值分析为基础, 常用的有拉格朗日线性插值、三次样条插值等

1. 拉格朗日插值方法

拉格朗日插值法能给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。如对实际的轨迹数据进行处理, 有若干个已知点, 拉格朗日插值法可以得到一个多项式, 能够包含所有的已知点, 最后再由多项式得到插值点的数据。

这种方法思路简洁, 在算法的实现上也简单.

可能的缺点：

1. 由于轨迹数据的离散性、连续变化的无规律性, 这种插值方法精度并不高;
2. 数据量大, 根据拉格朗日插值方法构造插值多项式时, 插值点越多, 插值多项式的次数也越高, 当插值次数过高时就会出现龙格现象 (即在一定范围内能较好逼近, 但越接近插值端点, 误差也就越大的现象) , 这样得到的插值结果误差会很大, 还会产生虚假的波动, 不具备保形效果。

原理举例
已知有三个点，找到一根穿过它们的曲线

三个样点
我们可以合理的假设，这根曲线是一个二次多项式：
拉格朗日认为可以通过三根二次曲线相加来达到目标。第一根曲线 f1(x)，在x1点处，取值为1，其余两点取值为0:
第二根曲线f2(x),在x2点处，取值为1，其余两点取值为0：
第三根曲线f3(x),在x3点处，取值为1，其余两点取值为0：

可以一一穿过这三个点
过程演示
这三根曲线就可以组成寻找的曲线
结果
计算公式

2. 三次样条插值方法

三次样条插值 (Spline插值) 是通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程, 最终得到的是通过一系列形值点的一条光滑曲线。
三次插值样条曲线在灵活性和计算速度之间进行了合理的折中。与更高次样条相比, 三次插值样条只需较少的计算和存储, 且较稳定。与二次插值样条相比, 三次插值样条在模拟任意形状时显得更灵活。

3.结合时间的插值方法

将运动分解为经度和纬度两种运动状态的变化, 即将原有的经纬度变化视为 (时间—经度) (时间—纬度) 两个一维运动的组合, 将两种方向上的运动都视为短时间的匀加速直线运动.
假设待插值点为

pi (Loni, Lati, vi, θi, ti)

其中:Lon代表经度;Lat代表纬度;v代表船速;θ代表航向;t代表发送时间。
前后两点坐标为

q1 (Lon1, Lat1, v1, θ1, t1)
q2 (Lon2, Lat2, v2, θ2, t2)

由通过经纬度插值变为通过时间插值, 通过插值时间序列T得到待插值时间ti点处的坐标 (Loni, Lati) ,再结合线性插值方法分别对两种运动状态插值, 最后将插值得到的相同时间的经纬度组合, 得到最终的插值结果。