一元二次方程

在学习完一元一次方程组后，在未来发展方面，一下就想到了一元二次方程，那么，我们应该如何解一元二次方程呢？

首先，一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0。这中间，a≠0，否则就不是二次方程，变成了一元一次方程。而abc均为常数。在这个方程中，包括一个二次项，是ax²。一个一次项，bx。和一个零次项，c。这是一元二次方程一般形式。

而在一元一次方程组的学习中，我们用了两种方法来解方程组，分别是图像法和代数法，而在探索一元二次方程时，也可以运用这样的方法。

首先是图像法。我们以y=x²这个式子举例。

这个方程画出来的图像是一个U型图像，处在第一象限和第二象限，一个y值对应两个x值，而这两个x值分别是相反数。由此可以得出方程y=x²在y值固定的情况下，有两个不同的解，比如当Y=1，x=1或–1。当y=4时，X等于2或-2。而把方程拓展到方程组，在方程y=x²中，y=1时，再画一条y=2的方程的图像，可知两条图像会产生两个交点，分别是(1,1) ，(-1,1)，也就是说这组方程组有两个解，而这两个解的y值相同，x值相反。

那么，当y值等于什么时，这种方程组会较为特殊的情况呢？第一种是当y=负数时，无实数解，因为y=x²的图像不过原点以下，最小的坐标的值就是原点。这样就无法和另一个方程y=n(n为负数)产生交点，自然就无解。第二种是当y=0时，x只能等于0，就只有唯一解。

说完了图像，我们再以代数的的角度来解一元二次方程。

在学过实数后，我们已经可以解的一类一元二次方程就是无一次项的一元二次方程，比如x²=1。那么，我们还可以解哪样的方程呢？可以运用原来学过的完全平方和来解。比如x²+4x+4=0。可以逆用完全平方和把它变成(x+2)²=0。再在等式两边同时开方，就可以解出。

这是一个很好的方法，我们是否可以把一元二次方程的式子都转化成完全平方和的形式，再利用完全平方和来解呢？比如x²+4x+3=0，是否也可以用这种方法？可以在等式两边同时加1，这样就又转化成了刚才的式子，可以用同样的方法。我们把这样的方法称为配方法。

可是，这却并不够具有普遍性。比如x²+3x+2=0该怎么转化呢？不能在等号两边同时加x，那就只能继续从常数项下手。

首先，我们想把此式子转化成的形式是(x+b)²，那么这个式子拆开可以变成x²+2nx(n不定)+m²(m不定)，而我们再把上面的式子代入，可知2nx=3x，所以n应该等于1. 5，由此可得b等于1.5。那么，带入式子就变成了x²+3x+1.5²，此时，这个柿子与原本式子不同的是2变成了四分之九，相当于加了4分之1。由此，我们可以这样来转化式子，从而解出方程。

既然有了完全平方和，那么我们也可以用配方法来尝试其他公式解一元二次方程。比如平方差。

以方程x²–4=0为例，我们可以把它拆成(x–2)(x+2)=0，这个式子中要么有一项等于0，要么两项都等于0。但是x-2和x+2不可能同时等于0，这是矛盾的。所以x-2或x+2=0，那么x就可以等于2或-2。

不过，运用平方差公式解的一元二次方程等式一边的结果必须是零，如果等于一或其数，就很难解和确定了。

但是，只有平方差公式拆出来的可以解吗？比如(x–2)(x–3)=0并不是平方差的形式，但是我们依旧可以得出x=2或-3。所以，按照这个逻辑，只要一元二次方程等式一边为零，而我们可以在另一边转化成此形式，那么就可以解。

由此，我们沿着这个思路继续往下想。可以用逆推的方法，比如式子(x+2)(x+3)=0，通过多项式的乘法可以转化成x²+5x+6=0，观察规律，第一项x²是两个多项数系数为1的x相乘的结果，而5x是两个多项式中常数项相加乘x的结果，6是两个方程中常数项相乘的结果。由此，我们可以试着把一个乱的式子整理成类似于平方差的形式，这样也可以更方便的计算。

当然，也不只有这两种方法可以算。还有一种被称为公式法，也就是说通过一个公式就可以单独解出x值，不需要其他的方法。不过目前，这个方法我还没有推导出来。

这就是我们对一元二次方程解法的探索，分别从图像和代数两个角度，代数主要探索了配方法，而图像则更为直观的看它们的关系