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摘要
σ-域的概念在概率论的理论研究中是极其重要的.
先引入σ-域的概念，如下,
1 σ-域的性质
1.1 基本性质
了解了概念后，我们需要知道σ-域的一些性质.首当其冲的是它的必要条件，如下,
1.2 σ-域中元素的个数
计算σ-域中元素的个数是一类常见问题.我们先研究一类非常特殊的σ-域的元素个数.这类特殊的集合，就是分割. [1]
一般场合，若分割D由n个事件组成，则其产生的事件域σ(D)共含有
下面我们证明如下命题，[2]
题目：设样本空间S包含n个元素，证明：S的元素总能构造
个S的子集.
归纳一下.如果S有限或者可数，我们直接定义B={S的全体子集，包括S本身}.若S包含n个元素，则B包含个集合.当S不可数时，选取B使其包含所有重要的集合.如，设S=(-∞,∞)为实数轴，令B包含全体形如[a,b],(a,b],(a,b)和[a,b)的集合，其中a,b为任意实数.此外，根据B的性质可知，B还包含由上述集合经过（可数无穷次）并、交运算所得的集合.
题目：假设随机事件A,B都既不是不可能事件也不是必然事件，并且
，包含随机事件A,B的最小σ-域中元素的个数为（8）.
解：要想求解此问题，首先我们要知道样本空间是怎么样的.这里先引入两个概念，
样本空间是随机现象的一切可能基本结果组成的集合，随机事件是随机现象的某些样本点组成的集合（简称事件），样本空间Ω的最大子集（即Ω本身）称为必然事件，样本空间的Ω的最小子集（即空集∅）称为不可能事件.
这里由可得样本空间的元素至少是2.再由
可得样本空间不能只包含A,B，至少还得有1个元素.综上可知，样本空间至少有3个元素，那么最小σ-域中元素的个数就为8.
2 基于σ-域的严格数学定义
清楚了σ-域的概念，我们就可以定义概率论中很多基本的概念了.
2.1 概率的严格数学定义
σ-域到R的映射P，称为事件的概率，是一个0，1之间的数.P是Ω上的关于σ-域的测度.σ-域中元素称为P可测集（可测），这里的可测是指σ-域中都是有概率可言的事件.
2.2 随机变量的严格数学定义
概率的定义里引出了概率空间，进一步可以定义随机变量了.随机变量是用来表示随机现象结果的变量.简单地说，随机变量是样本空间上的一个（可测）函数，也就是说给每个事件赋一个数值，做一个随机试验后，随机变量便取定一个值.它严格的定义如下，[3]
2.3 博雷尔集
博雷尔集是重要的σ-域的例子.
2.4 集函数
给出集函数概念前先引入广义实数集.在实数集R中再加入元+∞和-∞，称.[4]
设Ω是非空集合，F是Ω的某些子集为元素构成的集合，称为Ω的一个集类.μ为F到上的函数，则称μ为F上的
集函数.
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