43. 字符串相乘

#### 43. 字符串相乘

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:

输入: num1 = "2", num2 = "3"
输出: "6"
示例 2:

输入: num1 = "123", num2 = "456"
输出: "56088"
说明：

num1 和 num2 的长度小于110。
num1 和 num2 只包含数字 0-9。
num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。

方法一：普通竖式
思路

竖式运算思想

遍历 num2 每一位与 num1 进行相乘，将每一步的结果进行累加。

注意：

num2 除了第一位的其他位与 num1 运算的结果需要 补0
计算字符串数字累加其实就是 415. 字符串相加
实现

class Solution {
    /**
    * 计算形式
    *    num1
    *  x num2
    *  ------
    *  result
    */
    public String multiply(String num1, String num2) {
        if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
            return "0";
        }
        // 保存计算结果
        String res = "0";
        
        // num2 逐位与 num1 相乘
        for (int i = num2.length() - 1; i >= 0; i--) {
            int carry = 0;
            // 保存 num2 第i位数字与 num1 相乘的结果
            StringBuilder temp = new StringBuilder();
            // 补 0 
            for (int j = 0; j < num2.length() - 1 - i; j++) {
                temp.append(0);
            }
            int n2 = num2.charAt(i) - '0';
            
            // num2 的第 i 位数字 n2 与 num1 相乘
            for (int j = num1.length() - 1; j >= 0 || carry != 0; j--) {
                int n1 = j < 0 ? 0 : num1.charAt(j) - '0';
                int product = (n1 * n2 + carry) % 10;
                temp.append(product);
                carry = (n1 * n2 + carry) / 10;
            }
            // 将当前结果与新计算的结果求和作为新的结果
            res = addStrings(res, temp.reverse().toString());
        }
        return res;
    }

    /**
     * 对两个字符串数字进行相加，返回字符串形式的和
     */
    public String addStrings(String num1, String num2) {
        StringBuilder builder = new StringBuilder();
        int carry = 0;
        for (int i = num1.length() - 1, j = num2.length() - 1;
             i >= 0 || j >= 0 || carry != 0;
             i--, j--) {
            int x = i < 0 ? 0 : num1.charAt(i) - '0';
            int y = j < 0 ? 0 : num2.charAt(j) - '0';
            int sum = (x + y + carry) % 10;
            builder.append(sum);
            carry = (x + y + carry) / 10;
        }
        return builder.reverse().toString();
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(M N)。M,NM,N 分别为 num1 和 num2 的长度。
空间复杂度：O(M+N)。用于存储计算结果。
方法二：优化竖式
该算法是通过两数相乘时，乘数某位与被乘数某位相乘，与产生结果的位置的规律来完成。具体规律如下：

乘数 num1 位数为 M，被乘数 num2 位数为 N， num1 x num2 结果 res 最大总位数为 M+N
num1[i] x num2[j] 的结果为 tmp(位数为两位，"0x","xy"的形式)，其第一位位于 res[i+j]，第二位位于 res[i+j+1]。
结合下图更容易理解

image.png

class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
        if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
            return "0";
        }
        int[] res = new int[num1.length() + num2.length()];
        for (int i = num1.length() - 1; i >= 0; i--) {
            int n1 = num1.charAt(i) - '0';
            for (int j = num2.length() - 1; j >= 0; j--) {
                int n2 = num2.charAt(j) - '0';
                int sum = (res[i + j + 1] + n1 * n2);
                res[i + j + 1] = sum % 10;
                res[i + j] += sum / 10;    //加等于！！！
            }
        }
        
        StringBuilder result = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
          //子串的最高位是0
            if (i == 0 && res[i] == 0) continue;
            result.append(res[i]);
        }
        return result.toString();
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(M N)O∗(∗MN∗)。M,NM,N 分别为 num1 和 num2 的长度。
空间复杂度：O(M+N)O∗(M+N)。用于存储计算结果。
算法比较
算法 提交结果 执行用时 内存消耗 语言
普通竖式 通过 48 ms 43.8 MB Java
优化竖式 通过 4 ms 36.6 MB Java
虽然两者时间复杂度和空间复杂度相同，但优化竖式执行速度提高很明显，普通竖式耗时主要还是对每步计算的字符串相加这个过程。

链接：力扣（LeetCode）