角动量和磁矩

作者: ianwest | 来源:发表于2018-11-11 04:56 被阅读252次

1.电子的磁矩

玻尔磁子

电子因轨道运动而具有磁矩:

$\mu = I S = - \frac{e}{T} \pi r^2$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

$\mu = - \frac{e}{2 \pi} \omega \pi r^2 = - \frac{e}{2m} mr^2 \omega$

考虑到:

$L = r \times p = mr^2 \omega$

$\mu = - \frac{e}{2m} L$

改写为:

$\vec \mu = - g \frac{e}{2m} \vec J$

这里引入了因子（朗德因子） $g$ ,

对轨道运动而言，

$g_L = 1$

因为电子还具有自旋运动, 自旋也会导致电子具有磁矩,

$g_S = 2$

回到电子的轨道磁矩,

$\vec \mu_L = - g_L \frac{e}{2m} \vec L$

角动量 $L$ 在 $z$ 方向的投影 $L_z$ ,

$L_z = m \hbar, m = 0, \pm 1, ... , \pm l$

$\vec \mu_L$ 在 $z$ 方向上的取值为,

$-\frac{e}{2m_e} m \hbar = - m \frac{e \hbar}{2 m_e} = - m \mu_B$

这里 $\mu_B$ 是玻尔磁子（Bohr magneton）, 即磁矩也是量子化的, 对电子而言, 其最小单位是玻尔磁子,

$\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 9.27400968(20) \times 10^{-24} \text{J} \cdot \text{T}^{-1}$

类似地，还可以定义核磁子（Nuclear magneton）

$\mu_N = \frac{e \hbar}{2 m_p} = 5.05078353(11) \times 10^{-27} \text{J} \cdot \text{T}^{-1}$

拉莫频率

Direction of precession for a negatively-charged particle. The large arrow indicates the external magnetic field, the small arrow the spin angular momentum of the particle.

磁矩 $\mu$ , 在磁场 $B$ 中, 能量是：

$U = - B \cdot \mu = - B \mu \cos \theta$

磁矩 $\mu$ 在磁场中的力矩 $\tau$ ,

$\tau = \mu \times B = \frac{d J}{ dt }$

利用

$\mu = - g \frac{e}{2m_e} J$

$- g \frac{e}{2m_e} \frac{d J }{d t} = \frac{d \mu}{dt} = - g \frac{e}{2m_e} \mu \times B = \omega \times \mu$

i.e.,

$g \frac{e }{2 m_e} B \times \mu = \omega \times \mu$

解出:

$\omega = g \frac{e}{2 m_e} B = g \frac{ \mu_B B}{\hbar}$

对轨道运动而言, $g_L =1$ ,

$\omega_L = \frac{\mu_B B}{\hbar}$

$\omega_L$ 是电子做轨道运动时的进动频率, 也叫拉莫频率(Larmor frequency)。

更一般地，可写为:

$\omega = g \omega_L$

比如，对自旋运动,

$\omega_S = 2 \omega_L$

旋磁比

回到公式,

$\vec \mu = - g \frac{e}{2m} \vec J$

可改写为,

$\vec \mu = \gamma \vec J$

这里的因子 $\gamma$ 叫旋磁比(Gyromagnetic ratio),

$\gamma = \frac{\mu}{J} = - g \frac{e}{2m} = - g \frac{\mu_B}{\hbar}$

对电子而言, 自旋朗德因子, 使用量子电动力学计算:

$g_S = 2\left( 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} + ... \right)$

$\alpha = \frac{1}{137}$

得到,

$g_S = 2.00231930436153$

斯特恩-盖拉赫实验

角动量相加和磁矩相加

我们现在的做法是先将 $\mu$ 投影到 $J$ 方向, 得到 $\mu_J$ , 然后再把 $\mu_J$ 写为 $- g_J\frac{e}{2m} J$ 的形式, 这样我们就得到了总角动量 $J$ 的朗德因子 $g_J$ 。

$\mu_J = \mu_S \cos (S, J) + \mu_L \cos (L, J)$

$\cos (S, J) = \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|}$

$\cos (L, J) = \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|}$

$\mu_J = \left( -g_S\frac{e}{2m}\left| S \right| \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|} - g_L \frac{e}{2m} \left| L \right| \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|} \right) \frac{J}{\left| J \right|}$

化简可得:

$\mu_J = \left( -g_S \frac{\mu_B}{\hbar} \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2} - g_L \frac{\mu_B}{\hbar}\frac{J^2 + L^2 -S^2 }{2 J^2} \right) J = - g_J \frac{\mu_B}{\hbar} J$