线性代数：矩阵

1.矩阵加法

矩阵相加就是把对应位置上的项相加 。

前提：相加的两个矩阵需要有相同的。

例如：

矩阵相加的结果还是一个的矩阵

python实现：

import numpy as np
A = np.array([[1,0],[2,5],[3,1]])
B = np.array([[4,0.5],[2,5],[0,1]])
print(A)
print(B)
# 矩阵加法
C= A + B
print(C)

或者

import numpy as np
A = np.matrix([[1,0],[2,5],[3,1]])
B = np.matrix([[4,0.5],[2,5],[0,1]])
print(A)
print(B)
# 矩阵加法
C= A + B
print(C)

2. 标量乘法（Scalar Multiplication）

矩阵中的每个元素都与标量（一个单独的数）相乘：

3. 向量乘法（Vector Multiplication）

python实现：

import numpy as np
A = np.matrix([[1,3,2],[4,0,1]])
B = np.matrix([[1,3],[0,1],[5,2]])
C = A * B
print(A)
print(B)
print(C)

或者

import numpy as np
A = np.array([[1,3,2],[4,0,1]])
B = np.array([[1,3],[0,1],[5,2]])
# 使用dot实现矩阵乘法
C = np.dot(A,B)
print(A)
print(B)
print(C)

5. 矩阵乘法的性质

矩阵乘法：

• 不满足交换律（commutative）：
• 满足结合律（associative）：

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵(一般用 或 表示)，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。单位矩阵需要满足一下条件：

• 当矩阵与单位矩阵相乘时，单位矩阵需要是，如下：
  
  python 实现：

import numpy as np
I = np.array(
    [[1,0,0],
     [0,1,0],
     [0,0,1]]
)
A=np.array(
    [[1,2,3],
    [4,5,6]]
)
C = np.dot(A,I)
print(C)

• 当单位矩阵与矩阵相乘时，单位矩阵需要是。
  
  python实现：

import numpy as np
I = np.array(
    [[1,0],
     [0,1]]
)
A=np.array(
    [[1,2,3],
    [4,5,6]]
)
C = np.dot(I,A)
print(C)

6. 逆矩阵（inverse）

如果矩阵A是一个方阵，如果有逆矩阵，则

为单位矩阵

例如：

则A的逆矩阵

则：

如果矩阵A没有逆矩阵，则A矩阵也叫做奇异矩阵（singular）或退化矩阵（degenerate）

矩阵转置（transpose）

设为阶矩阵，定义的装置为这样一个阶矩阵，满足，即（的第行列元素是的第行第列元素），记(有些书记为)。直观来看，将的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到的转置。例：