线性代数：矩阵

作者: 大锅烩菜 | 来源:发表于2018-09-07 15:04 被阅读0次

1.矩阵加法

矩阵相加就是把对应位置上的项相加。

前提：相加的两个矩阵需要有相同的 $m\times n$ 。

例如：
$\begin{bmatrix} 1&0\\ 2&5\\ 3&1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4&0.5\\ 2&5\\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5&0.5\\ 4&10\\ 3&2 \end{bmatrix}$
矩阵相加的结果还是一个 $m\times n$ 的矩阵

python实现：

import numpy as np
A = np.array([[1,0],[2,5],[3,1]])
B = np.array([[4,0.5],[2,5],[0,1]])
print(A)
print(B)
# 矩阵加法
C= A + B
print(C)

或者

import numpy as np
A = np.matrix([[1,0],[2,5],[3,1]])
B = np.matrix([[4,0.5],[2,5],[0,1]])
print(A)
print(B)
# 矩阵加法
C= A + B
print(C)

2. 标量乘法（Scalar Multiplication）

矩阵中的每个元素都与标量（一个单独的数）相乘：
$3\times \begin{bmatrix} 1&0\\ 2&5\\ 3&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&0\\ 6&15\\ 9&3 \end{bmatrix}$

3. 向量乘法（Vector Multiplication）

python实现：

import numpy as np
A = np.matrix([[1,3,2],[4,0,1]])
B = np.matrix([[1,3],[0,1],[5,2]])
C = A * B
print(A)
print(B)
print(C)

或者

import numpy as np
A = np.array([[1,3,2],[4,0,1]])
B = np.array([[1,3],[0,1],[5,2]])
# 使用dot实现矩阵乘法
C = np.dot(A,B)
print(A)
print(B)
print(C)

5. 矩阵乘法的性质

矩阵乘法：

不满足交换律（commutative）： $A\times B \neq B\times A$
满足结合律（associative）： $A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵(一般用 $I$ 或 $E$ 表示)，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。单位矩阵需要满足一下条件：

当 $m\times n$ 矩阵与单位矩阵相乘时，单位矩阵需要是 $n\times n$ ，如下：
$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$
python 实现：

import numpy as np
I = np.array(
    [[1,0,0],
     [0,1,0],
     [0,0,1]]
)
A=np.array(
    [[1,2,3],
    [4,5,6]]
)
C = np.dot(A,I)
print(C)

当单位矩阵与 $m\times n$ 矩阵相乘时，单位矩阵需要是 $m\times m$ 。
$\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$
python实现：

import numpy as np
I = np.array(
    [[1,0],
     [0,1]]
)
A=np.array(
    [[1,2,3],
    [4,5,6]]
)
C = np.dot(I,A)
print(C)

6. 逆矩阵（inverse）

如果矩阵A是一个 $m\times m$ 方阵，如果有逆矩阵 $A^{-1}$ ，则 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$

$I$ 为单位矩阵

例如：
$A = \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}$
则A的逆矩阵
$A^{-1}=\begin{bmatrix} -2&1\\ 1.5&-0.5 \end{bmatrix}$
则：
$A\times A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -2&1\\ 1.5&-0.5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

如果矩阵A没有逆矩阵，则A矩阵也叫做奇异矩阵（singular）或退化矩阵（degenerate）

矩阵转置（transpose）

设 $A$ 为 $m\times n$ 阶矩阵，定义 $A$ 的装置为这样一个 $n\times m$ 阶矩阵 $B$ ，满足 $B=a(j,i)$ ，即 $b(i,j)=a(j,i)$ （ $B$ 的第 $i$ 行 $j$ 列元素是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素），记 $A^T=B$ (有些书记为 $A'=B$ )。直观来看，将 $A$ 的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到的转置。例：
$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f \end{bmatrix} ^T= \begin{bmatrix} a&c&e\\ b&d&f \end{bmatrix}$