集合，是一种特殊的数学概念。顾名思义，通过“集合”两字，我们能明白其指代具备相似特征的个体的全部。例如世界所有的男性，一个班级中在运动会上选择田径的学生。那当我们将集合化为数学语言后，它具备什么样的性质呢？
以例子来阐述，比如众所周知的自然数集合，包括正整数和零。在我们表示集合时，是否必须按照从大到小的顺序排列呢？其实不需要。我用3、1、2、0的顺序同样可以表示一部分自然数集合。由此可得，集合中的元素具备无序性。正整数与零所包含的所有数值都是确定无疑的，1就是1，2就是2，不存在不确定参数。所以，我们能够得出集合中的元素具备确定性。那么能否有两个元素相同呢？事实证明这是不行的。如果存在两个1，那么其中一个1是无意义的。所以，元素之间有互异性，元素不能重复。这便是集合中元素所具备的性质。
那么我们该如何表示集合呢？一共有四种方法。第一种我们可以将集合中的所有元素直接列举出来，比如同属于质数和偶数的数为2，将2利用大括号括起来，就是集合的意思。第二种，在元素过多无法列举的情况下，我们可以取一个范围表示这个集合所包含的元素，比如大于一小于二的实数，可以表示为（xl1<x<2）。第三种，我们可以用文字语言来表示一个集合中所包含的元素，在论文开头，我便提到过，例如一所学校的女生，出生于城市的学生等。
注：到了高中，符号语言逐渐会常态化，我们要学会利用符号语言表达一个元素属于某个集合。这个符号便是∈。我们可以说1∈R（R是实数）。那么如果元素不属于某个集合呢？很简单，只要画上一条/就可以，如∉。
其次就是集合之间的关系了。我们在初中其实已经有了大致的了解。在学习四边形的篇章中，正方形时最小的集合，而四边形是最大的集合。所以，我们可以说正方形包含于四边形，也就是集合A包含于集合B。同样，反过来的集合B包含集合A也是可以的。包含于的符号是⊆。可以表示为A⊆B。这时候我们就可以称A是B的子集。在平行四边形集合中，长方形与菱形共同包含一种图形～正方形。如果我要用长方形（A）与菱形（B）来表示正方形（C），就可以说C=A∩B，汉语中就是“C是A与B的交集”。集合C中的元素既属于A也属于B，这便是交集。那么集合间还有什么关系？从有理数（X）中，可得整数（Y）与分数（Z）共同组成了有理数整体，那么有理数是的整数与分数的什么？是的，有理数是的整数与分数的并集，可表示为X=Y∪Z。并集中的两个集合可以没有交集，也可以有。比如有理数和正有理数的并集为有理数。当然，如果我们抛出有理数因素，直接来探究整数和分数在集合上的关系，可以得出两者没有任何的关联性。也就是说，没有一个元素同时属于Y集合与Z集合。表示方法也很简单，Y≠Z。如此一来，两者的交集没有任何元素，于是，我们便可以称，两者的交集是空集。空集是任何集合的子集，不包括任何元素。
上述就是集合之间的关系。但是说到包含，我还想到一个问题：完全相同的两个集合，难道不是互相的子集吗？没错，自然数的子集也包括自然数本身，只有正整数才是自然数真正的子集。所以我们会称正整数是自然数的真子集，符号为⫋。那么如果我要利用自然数和正整数表示零呢？可以确定正整数和零共同组成的自然数，而当正整数集合中添加上零这个集合就变成了自然数。于是，我们可以称零是正整数（A）在自然数（U）中的补集，为CuA。这个符号看似复杂，其实我们在利用的时候完全不需要看前面的C，只需要想象“集合U中没有集合A的元素，剩余的集合由中的元素组成的集合”就可以了。
≠∈∉⊆⫋∩∪
接下来便是常用的逻辑用语。
我们在初中学习过很多图形的证明。如果能由一个条件p推出另一个结论q，我们可以描述p是q的充分条件。大家一定会想，我能不能由结论q推出条件p呢？答案当然是有时可以有时不可以。比如说所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形三条边都相等。所以在这个情况下，我们可以说q是p的必要条件。综上所述，p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。通过两者的关系，我们可以猜想p所代表的集合一定真包含于q所代表的集合。
但是凡事都有例外，一定存在命题和逆命题可以互推的条件，比如符合勾股定理的三角形（p）一定是直角三角形（q），而直角三角形一定符合勾股定理。如此，我们便可以称p是q的充要条件。我们同样可以猜想，两者分别所代表的集合中的元素是完全相同的。当然也存在两个条件毫无关系的情况，比如a≠0，然后b>0。如此，我们便可以称p是q的既不充分也不必要条件。我们又可以猜想，两者分别所代表的集合中的元素毫无关系，也就是两者的交集是空集。
随后的逻辑用语是存在量词和全称量词。非常好理解，“全称”的意思就是所有的、全部的、任意一个的。一般在数学语言中，我们会使用“任意一个”来表示命题，比如“任意一个正整数都大于零”。而存在量词就是“存在一个”。例如，存在一个偶数是质数，为2。
那么两者有什么关系呢？一般来说，存在量词可以用来反驳全称量词。比如我说，所有的天鹅都是黑色的。但只要有一个人说存在一个天鹅是白色，就可以立马驳斥我的观点。没错，存在量词可以证伪。这种论证在生活中非常常见。
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