三角函数与反三角函数（图像）

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感谢原博

在三角函数的前面加上 arc ，表示它们的反函数 f^–1 (x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。

1. 正弦函数 sin x， 反正弦函数 arcsin x

sinx arcsinx

• y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
• y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]

1. sin x = 0 ←→ arcsin x = 0
2. sin x = 1/2 ←→ arcsin x = π/6
3. sin x = √2/2 ←→ arcsin x = π/4
4. sin x = 1 ←→ arcsin x = π/2

2. 余弦函数 cos x， 反余弦函数 arccos x

cosx arecosx

• y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴
• y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]

1. cos x = 0 ←→ arccos x = π/2
2. cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3
3. cos x = √2/2 ←→ arccos x = π/4
4. cos x = 1 ←→ arccos x = 0

3. 反正弦函数 arcsin x， 反余弦函数 arccos x

arcsinx arccosx

• y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1，1]
• y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (√2/2 ，π/4)

4. 正切函数 tan x， 余切函数 cot x

tanx cotx

• y = tan x， x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈R，周期为π，当 x → ± (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
• y = cot x = 1 / tan x， x∈( 0，kπ )， y∈R，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
• y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x = (π/4) + kπ/2 对称
• 在单个周期内（第一个），y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点 （π/4 ，1）。当 x = (π/4) + kπ/2 时，y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等，等于 ±1

5. 反正切函数 arctan x， 反余切函数 arccot x

arctanx arccotx

• y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
• y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (1 ，π/4)

1. tan x = 0 ←→ arctan x = 0
2. tan x = 1 ←→ arctan x = π/4
3. tan x = √3 ←→ arctan x = π/6

6. 余割函数 csc x

cscx

• y = csc x = 1 / sin x，x∈(0，kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞

7. 正割函数 sec x

secx

• y = sec x = 1 / cosn x，x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞