一题思考-（12月17日）

作者: 吴理数 | 来源:发表于2023-12-16 18:31 被阅读0次

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本题有一定综合性。

第（1）题，由于∠CEB=∠CAB，所以只要证明∠CAB=∠DPB，这个难度不大；

第（2）题，如果把这个等积式变成比例式，应该能证明CPD∽CDB，从而∠CDP=∠CBA，而∠CBA=∠CEA，同时，要证BD=BE，只要证∠EDB=∠BED，这个已经不难了；

第（3）题，方法不一，但最简单的还是四点共圆。因为∠ACP+∠ADP=180°，所以点A、C、P、D四点共圆，所以∠PCD=∠DAP，设PD=a，则由已知的三角函数值可知，AD=3a，BD=2a，又AB=2 $\sqrt{5}$ ，于是可以求出a的值，从而求得AP= $\sqrt{10} a$ 。

第（2），由上面证得的四点共圆，可以知道∠PCD=∠PAD，所以∠PAD=∠EAD，又∠AED=∠ABP，故可证APB∽ADE， $\frac{AP}{AD} =\frac{PB}{DE}$ ，所以AP.DE=AD.PB，设PD=x，则DB=2x，PB= $\sqrt{5} x$ ，而AB=2 $\sqrt{5}$ ，所以AD= $2\sqrt{5} -2x$ ，于是AP.DE= $\sqrt{5} x(2\sqrt{5} -2x)$ ，求此二次函数的最值，本题可解。

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