2023-03-09

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1. 前言

贝塞尔曲线（Bézier Curve）[1]，也被称为贝塞尔多项式（Bézier Polynomial），是由一系列控制点（Control Point）所定义的一条平滑曲线。Pierre Bézier 于1960年开始利用该曲线设计雷诺的车身线条，故命名为贝塞尔曲线。目前，贝塞尔曲线被广泛应用于图形学、设计以及诸多相关领域中。

2. 定义

贝塞尔曲线可以由如下参数方程表示：

(1)B(t)=∑i=0nCin(1−t)n−itiPi

即：

(2)B(t)=(1−t)nP0+C1n(1−t)n−1tP1+⋅⋅⋅+Cn−1n(1−t)tn−1Pn−1+tnPn 

其中 n 为控制点 P 的数目减一（下标从0开始），且 0≤t≤1 。

3. 一次贝塞尔曲线

一次贝塞尔曲线由两个控制点所定义，即 n=1 ，带入公式 (2) 可得： 

(3)B(t)=(1−t)P0+tP1

整理可得：

(4)B(t)=P0+(P1−P0)t

由 公式(4) 可以更清楚的理解，一次贝塞尔曲线实际上就是在对 P0 和 P1 两个点做线性插值。根据 t 值的不同，插值所得到的一系列点组成了一次贝塞尔曲线。

一次贝塞尔曲线

4. 二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由三个控制点组成，即 n=2 ，带入公式 (2) 可得：

(5)B(t)=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2

作为参数方程，公式 (5) 对于二次贝塞尔曲线上点的坐标的求解非常高效。然而，从形式上来说，过于抽象，并不利于理解。

要理解二次贝塞尔曲线，可以参考上篇文章中不同维度柏林噪声之间的关系。一维柏林噪声是在两个点之间做平滑插值，二维柏林噪声是利用四个点，做三次插值。实际上，二次贝塞尔曲线也可以由类似的方式求得。

对 P0 和 P1 做线性插值可以得到：

(6)B1(t)=P0+(P1−P0)t

对 P1 和 P2 做线性插值可以得到：

(7)B2(t)=P1+(P2−P1)t

对B1(t) 和 B2(t) 做线性插值可以得到：

(8)B(t)=B1(t)+(B2(t)−B1(t))t

把公式 (6) 和 (7) 带入到公式 (8) ，展开并整理即可得到公式 (5) 。

那么现在，二次贝塞尔曲线的神秘面纱也被揭开了：三个控制点依次连成两条线（首尾不相连），在两条线上做线性插值得到两个点，再在这两个点连成的线上用同一个 t 值做线性插值，即可得到这三个控制点所定义的二次贝塞尔曲线上的点。

二次贝塞尔曲线

5. 三次贝塞尔曲线

在分析和理解二次贝塞尔曲线之后，三次贝塞尔曲线的求解就很简单了：四个控制点依次连成三条线（首尾不相连），在三条线上做线性插值得到三个点，这个三个点又可以依次连成两条线，再在这两条线上利用同一个 t 做线性插值，得到两个新的点，再利用这个 t 在两个新点连成的线上做插值，得到最终的三次贝塞尔曲线上的点。

三次贝塞尔曲线

这里看上去和二次贝塞尔曲线差不多，是中间两个控制点的位置摆放问题。通过调整两个控制点的位置，三次贝塞尔曲线可以实现比二次更复杂的曲线。