分析力学基本原理介绍5：约束系统与拉格朗日乘数法

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:38 被阅读0次

哈密顿原理即可被用于完整约束的系统，又可被用于非完整约束的系统。一般情况下，当我们考虑一个只含有完整约束的系统时，我们总是可以利用约束方程消去相应若干个坐标，保证最后剩下的坐标都相互线性独立。但是坐标的虚位移不一定总是线性独立的，这时就需要用新的方法将线性依赖的虚位移消去。这个方法被称为拉格朗日待定乘数法(Lagrange undetermined multipliers)。

假设系统存在 $n$ 个变量， $m$ 个完整约束方程 $f_\alpha$ ，修正后的泛函为

$I = \int_1^2\left(\mathscr{L}+ \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}f_{\alpha}\right)dt$

其中 $\lambda_{\alpha}$ 为待定变量。

如果待定量 $\lambda_{\alpha}$ 与坐标 $q_{\alpha}$ 都是独立变量，分别考虑待定量和坐标的变分，我们将得到 $n+m$ 个方程。

首先考虑待定量 $\lambda_{\alpha}$ 的变分，

$\delta I = I(q, \lambda + d\lambda) - I(q,\lambda)$

括号中的变量均为缩写，比如

$q = q_1, q_2,...,q_n$

于是

$\delta I = \int_1^2\sum_{\beta = 1}^m\sum_{\alpha = 1}^mf_{\alpha}\frac{d\lambda_{\alpha}}{d\lambda_{\beta}}d\lambda_{\beta}\;dt = \int_1^2 \sum_{\alpha = 1}^mf_{\alpha}d\lambda_{\alpha}\;dt$

因为虚变分 $\mathbf{\delta} I = 0$ ，所以

$f_{\alpha} = 0$

可见，计算待定量 $\lambda_{\alpha}$ 的变分，我们复原了这 $m$ 个约束方程。

接下来考虑坐标 $q_{\alpha}$ 则有

$\delta I = \int_1^2dt\left[ \sum_{i=1}^n\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i} + \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_i}\right)\delta q_i\right] = 0$

拉格朗日乘数法的意义就在于，我们通过求解 $\lambda_{\alpha}$ （找出一组特殊的组合系数），使得括号里的总系数为零——只挑选线性独立的虚位移。

因为一共有 $m$ 个约束，所以线性独立的虚位移个数为 $n - m$ 。

所以我们将得到 $m$ 个形如下述的方程：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} + \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_k} = 0$ ， $k = 1,2,...,n$

剩下 $n - m$ 方程则来自于坐标的虚变分 $\mathbf{\delta} q_i$ 。

上述表达式可以写成：

$\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = -\sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_k} = Q_k}$

等式右侧为我们熟悉的广义力。该广义力代表了在该系统中产生约束所需力的大小（约束力的大小）。这是从数学分析中直接得到的结论，约束力的方向则需借助物理分析来获得。

分析力学基本原理介绍5：约束系统与拉格朗日乘数法

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