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【转载】N个数里面找出最大的k个数

【转载】N个数里面找出最大的k个数

作者: dopami | 来源:发表于2018-06-22 14:03 被阅读42次

    https://www.douban.com/note/275544555/

    题目:给出N个无序的数,然后找出其中最大的k个数

    解题思路:

             首先测试数据有可能会有一亿个数,数据量特别的大,数据库不可能存储这么多的数据。如果直接sort排序,NlogN时间复杂度实在是太高,大于10^9。我们可以考虑对数据进行分块读取,每次读取的数据块大小应大于k。

             不如先假设第一次读取的数据块前k个数最大,然后把k个数建成最小二叉堆。然后从第k+1个数开始,每个数都与堆顶的数值进行比较,如果数字i大于堆顶则把堆顶的元素的元素替换成i,再调整一次堆。最后读取完数据之后,这个二叉堆里面的元素就是从小到大排序好的最大k个数。

    时间复杂度:O(NlogK)

    空间复杂度:O(K)

    证明过程:

             为什么求最大的k个用的不是最大堆,而是最小堆?最大堆堆顶的元素是最大的,往下的子树越来越小,把N个数建成最大堆,那么堆顶往下的k个数就是最大的k个数。但是时间复杂度O(NlogN)和空间复杂度O(N)太高!

             排序时间复杂度很高,是因为进行了很多没有用的判断,我们只需要取最大的k个数,而排序则把N个数都从小到大排序好了。建立一个k个数的最小堆,假设堆里面的元素是最大的,当然只是假设。如果从M+1到N这些数只要有数大于最小堆堆顶的数,那么假设就不成立,堆顶那个数就不符合,自然把它去掉,把新的数加进来,再重新调整堆,使得堆顶的元素最小。

             为什么要用最小堆呢?因为每次查找这k个数里面的最小的那个数就是堆顶,时间复杂度是O(1)。如果直接用数组来存储这k个数,虽然查找的时间复杂度是logN,但是当把这个数插入数组的时候,数组比它小其他元素还需要往前平移,所以时间复杂度远远大于logN。由于每次调整堆的时间复杂度是logN。所以最小堆的做法的时间复杂度是

    O(NlogK),而空间复杂度只有O(K)。

    代码1  C++的STL库优先队列实现二叉堆:

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    using namespace std;

    struct cmp{

       bool operator ()(int a,int b)

       {

           return a>b;

       }

    };

    #define MAX 11000

    int a[MAX];

    using namespace std;

    priority_queue,cmp>q;

    int main()

    {

       int n,i,k,m,top;

       scanf("%d%d",&n,&m);

         for(i=1;i<=n;i++)

         {

              scanf("%d",&k);

              if(i<=m)  //前m个数入 队列

              {

                   q.push(k);

                   if(i==m)  //纪录前m个数中最小的数

                        top=q.top();

              }

              else

              {

                   if(k>top)  //如果新加入的数大于队列中最小的数则出队

                   {

                        q.pop();

                        q.push(k);

                        top=q.top();

                   }

              }

         }

         k=0;

         while(!q.empty())  //这样处理是为了最后一个数打印时没有空格

         {

              a[k++]=q.top();

              q.pop();

         }

         for(i=0;i

         {

              printf("%d",a[i]);

              if(i==k-1)

                   printf("\n");

              else

                   printf(" ");

         }

       return 0;

    }

    代码2 (数组实现堆):

    #include

    #define MAX 10001

    int a[MAX];

    void HeapAdjust(int R[],int s,int t)  //筛选函数1

    {

       int i,j,temp;

       temp=R[s];

       i=s;

       for(j=2*i;j<=t;j=2*j)

       {

           if(j

               j++;

           if(temp>R[j]) break;

           R[i]=R[j];

           i=j;

       }

       R[i]=temp;

    }

    void HeapSort(int R[],int n)  //堆排

    {

       int i;

       for(i=n/2;i>0;i--)

       {

           HeapAdjust(R,i,n);

       }

       for(i=n;i>1;i--)

       {

           R[1]^=R[i];

           R[i]^=R[1];

           R[1]^=R[i];

           HeapAdjust(R,1,i-1);

       }

    }

    void HeapAdjust2(int R[],int s,int t)  //筛选函数2

    {

       int i,j,temp;

       temp=R[s];

       i=s;

       for(j=2*i;j<=t;j=2*j)

       {

           if(jR[j+1])

               j++;

           if(temp

           R[i]=R[j];

           i=j;

       }

       R[i]=temp;

    }

    int main()

    {

       int i,k,n,m;

       scanf("%d%d",&n,&m);

       for(i=1;i<=m;i++)

       {

           scanf("%d",&a[i]);

       }

       HeapSort(a,m);

       for(i=m+1;i<=n;i++)

       {

           scanf("%d",&k);

           if(k>a[1])        //新元素大于堆中最小元素则加入堆

           {

               a[1]=k;

               HeapAdjust2(a,1,m);  //从根节点开始重新筛选一次

           }

       }

       HeapSort(a,m);

       for(i=1;i<=m;i++)

       {

           printf("%d",a[i]);

           if(i==m)

               printf("\n");

           else

               printf(" ");

       }

       return 0;

    }

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