統計學(Statistical)重點整理-5

作者: RJ阿杰 | 来源:发表于2018-09-03 17:09 被阅读0次

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台灣交通大學統計學(一) Statistics I 唐麗英老師

[統計學筆記及整理]

第六章（續）抽樣分佈(Sampling Distributions )

抽樣分佈(Sampling Distributions)

回顧：參數與統計量(Parameter and statistic)
根據群體中的觀察計算的數量稱為參數。
根據樣本中的觀察計算的數量稱為統計量。
Def : Sampling Distribution 抽樣分佈
當從給定群體重複抽取(會放回即可重複)大小為n的隨機樣本時得到的統計量的概率分佈稱為統計量的抽樣分佈。
例：
樣本均值 $\overline{X}$ 的分佈是一種抽樣分佈。
樣本比例 $\widehat{p}$ 的分佈是另一種抽樣分佈。

利用蒙地卡羅模擬法模擬抽樣分佈(Approximating a Sampling Distribution by Monte Carlo Simulation)

例1:
模擬樣本均值的抽樣分佈

對於從圖6.12所示的均勻概率分佈中抽取的n = 5個觀測樣本。注意，均勻分佈的平均值μ= 0.5。對n = 15,25,50和100重複該過程。
模擬程序
使用Minitab從均勻概率分佈中獲得10,000個大小為n = 5的隨機樣本，在區間（0,1）上，並為每個樣本計算𝐘。然後，繪製10,000的values值的直方圖。對n = 15,25,50和100重複該過程。
統一均值（0,1）的模擬抽樣分佈
基於均勻分佈的獨立隨機樣本的 $\overline{X}$ 的模擬採樣分佈的直方圖接近正態分佈。請注意：
1） $\overline{X}$ 的值傾向於聚集（群聚）關於均勻分佈的均值。
2）隨著樣本量n的增加， $\overline{X}$ 的採樣分佈變化較小， $\overline{X}$ 的抽樣分佈形狀傾向於正態分佈的形狀。
例2:
基於指數分佈的獨立隨機樣本的 $\overline{X}$ 的模擬採樣分佈的直方圖接近正態分佈。其餘結論與上例相同。
指數均值的模擬抽樣分佈（β= 1）
例3:
基於正態分佈的獨立隨機樣本， $\overline{X}$ 的模擬抽樣分佈的直方圖接近正態分佈。其餘結論與上例相同。
正態均值（0,1）的模擬抽樣分佈

抽樣分布的特性與樣本平均數(The Sampling Distributions of Means and Sums)

1）樣本均值的抽樣分佈是什麼， $\overline{X}$ (當σ已知時)？統計 $\overline{X}$ 在重複採樣中的表現如何？

例1：
1)假設一個群體由四個數字組成（N = 4）：1,2,3,4
2)由於四個值是不同的，群體概率分佈為群體中的每個x值賦予1/4的相等概率。
步驟1：現在，從群體中取一個大小為2的隨機樣本。有多少可能的樣品？
步驟2：現在構建樣本均值 $\overline{X}$ 的概率分佈

對於 $\overline{X}$ 的概率分佈，樣本均值 $\overline{X}$ 的均值和样本均值 $\overline{X}$ 的方差為：
$μ_\overline{X}$ = 2.5
${σ_\overline{X}}^2= 6.875-6.25 = 0.625 = \frac{σ^2}{2}=\frac{σ^2}{n}$
結論：
1） $μ_\overline{X}=μ$
2） ${σ_\overline{X}}^2 = {\frac{σ^2}{n}}，σ_{\overline{X}}\ =\frac{σ}{\sqrt{n}}$ ，其中n是樣本大小。
3）原始種群的分佈無論是否為常態，大部分樣本均值的分佈接近正態分佈。
The Central Limit Theorem (C.L.T.) 中央極限定理
如果從具有平均μ和標準偏差σ的總體中抽取n個觀測值的隨機樣本，則當n大（n≥30）時， $\overline{X}$ 的採樣分佈近似正態分佈為 $μ_\overline{X}=μ$ ，並且 $σ_{\overline{X}}\ =\frac{σ}{\sqrt{n}}$ 。

隨著n變大，近似將變得越來越準確。
備註:如果群體是常態的，那麼無論樣本大小（n）如何，樣本均值 $\overline{X}$ 的分佈總是常態的。
例1：假設X遵循均值 $μ= 10$ 且方差 $σ^2= 4$ 的分佈。從該群體中抽取大小為25的樣本。 $\overline{X}$ 的分佈是什麼？

例2：某品牌維生素的平均維生素B-2含量為30毫克，標準偏差為2毫克。質量控制檢查員選擇36個藥丸進行測試。這36粒藥丸的平均維生素B-2含量低於28毫克的概率是多少？

根據中央極限定理，n=36， $\overline{X}$ 非常近似常態分怖。

$\overline{X}$ 低於28的概率為:
$σ_{\overline{X}}\ =\frac{σ}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{36}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$P(X<28)=P(Z<\frac{28-30}{\frac{1}{3}})=P\left(Z<-6\right)=0.5 - 0.4999 {\approx} 0$

例3：如果1加侖的某種油漆覆蓋平均513.3平方英尺，標準偏差為31.5平方英尺，那麼這些1加侖罐中的40個樣品所覆蓋的平均面積"從510.0到520.0平方英尺"的概率是多少？

$σ_{\overline{X}}\ =\frac{σ}{\sqrt{n}}=\frac{31.5}{\sqrt{40}}=4.98$
$P(510<\overline{X}<520)=P(\frac{510-513.3}{4.98}<Z<\frac{520-513.3}{4.98})=P\left(-0.66<Z<1.35\right)$
$= 0.2454 + 0.4115 {\approx} 0.6569$

樣本比例的抽樣分佈是什麼， $\widehat{p}$
1)p：群體比例
2) $\widehat{p}$ ：樣本比例 = x / n =成功次數/總試驗次數
定理： $\widehat{p}$ 的採樣分佈
當樣本量n很大時， $\widehat{p}$ 的採樣分佈近似正態，平均值為p，標準差為 $\sqrt{\frac{pq}{n}}$ 。
例4：製造公司的生產線生產10％的缺陷產品。如果採樣n = 64項，那麼樣本缺陷率低於8％的概率是多少？

p=0.1= $\widehat{p}$ ,n=64，q=0.9, $σ_\widehat{p}=\sqrt{\frac{pq}{n}}=\sqrt{\frac{0.1\cdot0.9}{64}}=0.0375$
$P(\widehat{p}<0.08)=P(Z<\frac{0.08-0.1}{0.0375})=P\left(Z<-0.534\right)$
$0.5-0.2019 {\approx} 0.2981$

定理:正態隨機變量和的採樣分佈

例: 假設您選擇來自兩個常態群體的獨立隨機樣本， $n_1$ 的觀察來自群體 $1$ 和 $n_2$ 的觀察來自群體 $2$ 。如果群體 $1$ 和 $2$ 的均值和方差分別是 $(μ_1，{σ_1}^2)$ 和 $(μ_1，{σ_2}^2)$ ，並且如果 $\overline{Y}_1$ 和 $\overline{Y}_2$ 是相應的樣本均值，找出差值的分佈（ $\overline{Y}_1-\overline{Y}_2$ ）。

解:

2）樣本均值的採樣分佈是什麼， $\overline{X}$ （當 $σ$ 未知時）？

定理:如果 $\overline{X}$ 是取自具有平均 $μ$ 和方差 $σ^2$ 的正態分佈群體，大小為 $n$ 的隨機樣本的平均值，則樣本統計量

具有自由度為 $ν = n-1$ 的T分佈， $s=樣本標準差，s^2=樣本變異數$ 。
s=樣本標準差取的n越大 $s(μ_s,σ_s)$ 的 $μ_s$ 越接近 $σ$
注意：T分佈也稱為“學生T分佈”
什麼是“學生”T分佈？
T統計量的概率分佈首次發表於1908年，由W.S.撰寫。戈塞特。當時，Gosset受僱於愛釀酒廠，該釀酒廠不允許其員工發表研究報告。為了規避這一限制，他以“學生”的名義秘密出版了他的作品。因此，T的分佈通常稱為學生的T分佈，或簡稱為T分佈。
T分佈的屬性:T分佈非常像Z分佈
T分佈和Z分佈的比較
1）兩者都是對稱的，鐘形的。
2）兩者的平均值為0。
3）在重複採樣中T比Z更可變。(T分佈的尾部有更多的區域，中間的Z分佈更高)。
4）作為d.f.的數量當沒有限制地增加（即，當n增加）時，T分佈接近Z分佈。
什麼是自由度(Degree of Freedom，d.f.)？
我們使用自由度作為樣本信息的度量。
例如，我們說T統計量具有自由度 $n-1$ ，群體的參數 $σ$ 的自由度為 $n$
為什麼？
在正態分佈的大小為 $n$ 的隨機樣本中存在 $n$ 個自由度或獨立信息。
在計算 $\large{T =\frac{\overline{X}-μ}{\frac{s}{\sqrt{n}}}}$ 時，我們不知道 $σ$ 並且需要使用樣本數據來估計 $σ$ 。當數據（樣本中的值）用於計算用於獲得 $s^2=\sum_{i=1}^n\frac{\left(x_i-\overline{X}^2\right)}{n-1}$ 的平均值 $\overline{X}$ 時，用於估計 $σ^2$ 的信息中的自由度減少 $1$ 。
T分配表
例1：當 $α= 0.05$ 且 $n = 6$ 時，找到 $t_α$ 和 $t_{α/2}$ 。
例2：當 $α= 0.01$ 且 $n = 20$ 時，找到 $t_α$ 和 $t_{α/2}$ 。
例3：當 $α= 0.10$ 且 $n = 42$ 時，找到 $t_α$ 和 $t_{α/2}$ 。

正態分佈相關的抽樣分佈(The Sampling Distributions Related to the Normal Distribution)

$\chi^2$ - 分佈(卡方分佈)
如果 $s^2$ 是取自具有方差 $σ^2$ 的正態分佈群體的大小為 $n$ 的隨機樣本的方差，則

有一個（希臘字母，Chi）分佈與 $d.f. =ν= n-1$

表給出了在 $α$ 和 $d.f$ 的各種值的 $\chi^2$ 分佈的上尾部中 $α$ 的區域的值。
例1：如果 $n = 20$ ，請使用表確定 $\chi_{0.05}^2$ =？
例2: 考慮一個生產8盎司加工玉米罐頭的罐頭廠。
當每罐填充量的真實變化 $σ^2$ 小於0.0025時，質量控制工程師已確定過程正常運行。
從一天的生產中選擇 $n = 10$ 罐的隨機樣品，並記錄每個罐的填充量（以盎司為單位）。
關心的是樣本方差， $s^2$ 。實際上，如果 $σ^2= 0.001$ ，則發現 $s^2$ 超過 $0.0025$ 的概率。假設填充量是正態分佈的。

我們想要計算 $P(s^2> 0.0025)$ 。假設從正態分佈中選擇10個填充量的樣本。

具有 $ν=（n-1）$ 自由度的卡方概率分佈。因此，我們尋求的概率可以寫成

因此，當真實總體方差 $σ^2$ 等於 $0.001$ 時，樣本填充量的方差超過 $0.0025$ 的概率很小（在0.005和0.01之間）。

$T$ 分佈
定義：設 $Z$ 為標準正態隨機變量， $\chi^2$ 為具有自由度 $ν$ 的卡方隨機變量

具有 $ν$ 分子 $d.f$ （分子自由度）和 $ν_2$ 分母 $d.f.$ （分母自由度）的 $T$ 分佈。

定理：如果X是取自具有平均 $μ$ 和方差 $σ^2$ 的正態分佈群體的大小為 $n$ 的隨機樣本的平均值，則樣本統計量

具有自由度 $(d.f.)$ （自由度） $ν= n-1$ 的 $T$ 分佈
例3：假設隨機變量 $\overline{Y}$ 和 $s^2$ 是來自具有平均 $μ$ 和方差 $σ^2$ 的正態分佈群體的n個觀測值的隨機樣本的均值和方差。可以證明，當採樣總體具有正態分佈時， $\overline{Y}$ 和 $s^2$ 在統計上是獨立的。使用此結果顯示

具有 $ν=（n-1）$ 自由度的 $T$ 分佈。

$F$ 分佈
定義：設 ${{\chi}_1}^2$ 和 ${{\chi}_2}^2$ 分別為兩個獨立的卡方隨機變量，其中 $ν_1$ 和 $ν_2$ 自由度分別為
具有 $ν_1$ 分子 $d.f$ 的 $F$ 分佈。（分子自由度）和 $ν_2$ 分母 $d.f.$ （分母自由度）

定理：如果 ${s_1}^2$ 和 ${s_2}^2$ 是大小為 $n_1$ 的隨機樣本和取自兩個具有相同方差的正態總體的 $n_2$ 的方差，那麼

具有 $d.f. =ν_1，ν_2 = n_1-1，n_2-1$ 的F分佈。
F分佈表
表給出了 $F_α$ 的值，其對於 $α$ 和 $d.f$ 的各種值，在 $F$ 分佈的上尾部中定位 $α$ 的區域。
例：如果 $n_1 = 7，n_2 = 13$ ，使用表確定 $F_{.01}$ =？