[統計學筆記及整理]

第六章雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions)

離散型與連續型雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions for Discrete & Continuous Random Variables)

雙變量概率分佈(Bivariate Probability Distributions)
Def：隨機向量
假設𝐒是與實驗相關的樣本空間。
令𝐗=𝐗（ω）和𝐘=𝐘（ω）是兩個函數，每個函數為𝐒的每個點ω分配一個實數。
然後（𝐗，𝐘）被稱為二維隨機向量（或者我們說𝐗，𝐘是聯合分佈的隨機變量）。
備註
如果𝐗𝟏=𝐗𝟏（ω），𝐗𝟐=𝐗𝟐（ω），...，𝐗𝐧=𝐗𝐧（ω）是n個函數，每個函數為每個結果分配一個實數，我們稱（𝐗𝟏，𝐗𝟐，...，𝐗𝐧）為n- 維隨機向量（或者我們說𝐗𝟏，𝐗𝟐，...，𝐗𝐧是聯合分佈的隨機變量）。
Def："離散"隨機變量的聯合概率質量函數
假設X和Y是在相同概率空間上定義的離散隨機變量，並且它們分別取值x1，x2，...和y1，y2，....
它們的聯合概率質量函數𝐏（𝐗，𝐘）是
聯合概率質量函數必須滿足以下條件：

如何找到"離散"X和Y的聯合概率質量函數？
構建一個表，列出R.V.的每個值。 𝐗和𝐘可以假設。然後找到p（𝐱，𝐲）的每個組合的P（𝐱，𝐲）。
例1：投擲一枚公平的硬幣3次。設𝐗是第一次投擲時的頭數和𝐘三次投擲所觀察到的頭部總數。（𝐗，𝐘）的聯合概率質量函數是多少？

有時我們只對X或Y的概率質量函數感興趣。
例如，在例1中，
一般來說，邊際函數可以通過以下方式找到
如何從表中找到邊際概率函數？
1）要找到P_Y(y),，請總結表格的相應列。
2）要找到P_X(x)，請在表格的相應行中求和。
注意
由於P_Y(y)和P_X(x)位於行和列“邊距”中，因此這些分佈稱為邊際概率函數。
例2：在例1中，找到X和Y的邊際概率函數
Def：連續隨機變量的聯合概率密度函數
假設𝐗和𝐘是聯合分佈的連續隨機變量。
它們的聯合密度函數是兩個變量f（x，y）的分段連續函數，這樣對於任何“合理的”二維集合A
聯合概率密度函數必須滿足以下條件
X和Y的邊際密度函數是
注意
在離散情形中，邊際質量函數是通過將聯合概率質量函數與另一個變量相加得到的; 在連續的情況下，它是通過整合發現的。
例3：假設（X，Y）是具有以下聯合密度函數的二維連續隨機向量

a）找到c。
b）找到X和Y的邊際密度函數。
例4：

a) $f_X\left(x\right)=\int_{all\ y}^{ }=$ (將y全部積分起來)，再將x全部積分起來會等於1:
$\int_0^1\left(2-2x\right)\cdot dx=2x-x^2\bigg|^1_0=2-1=1$
因 $2-2x$ 的x可以介於0~1之間
b) $f_Y\left(y\right)=\int_{all\ x}^{ }=$ (將x全部積分起來)，再將y全部積分起來會等於1:
$\int_0^1\left(2y\right)\cdot dy=y^2\bigg|^1_0=1$
因 $y^2$ 的y可以介於0~1之間

例5：假設聯合p.d.f. X和Y的規定如下：
例6：X和Y的密度函數由下式給出

雙變量機率函數之期望值與共變異數(The Expected values and Covariance for Jointly Distribution Random Variables)

$\frac{ Σ(x^i - x_{avg})(y^i - y_{avg}) }{n-1} ,(x=x^1,x^2,x^3....x^i;y=y^1,y^2,y^3,...y^i)$

回想：隨機變量的預期值
備註：一般情況

定理：如果X和Y是獨立的，那麼

但成立，並不一定代表變數為獨立，但獨立此式一定成立。
回想:
Def：任何兩個變量X和Y的協方差 (共變異數)
方差(變異數)就是協方差的一個特例 $(cov(X,X)=E(X-μ)^2=σ^2)$
例1：顯示Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y）
定理: 如果X和Y是獨立的，則Cov（X，Y）= 0
問題: 如果Cov（X，Y）= 0，X，Y是獨立的？沒有！！XY不相關，但不一定獨立。
備註: 如果Cov（X，Y）= 0，則X和Y可能不是獨立的。
例2 :(反例）
設X，Y為離散隨機變量，P（X = x，Y = y）如下：

雙變量機率函數之獨立性與相關性(Independence and Conditional Distributions)
Def：獨立隨機變量
當且僅當，P(X∈A，Y∈B)= P(X∈A)‧P(Y∈B)時，X和Y是獨立的隨機變量
定理
當且僅當 $F_{XY}\left(X,Y\right)=F_X\left(X\right)\cdot F_Y\left(Y\right)$ 時，X和Y是獨立的隨機變量
推論
1）如果X和Y是獨立的離散隨機變量，那麼P(X = x，Y = y)= P(X = x)‧P(Y = y)= $P_X(x)‧P_Y(y)$
2）如果X和Y是獨立的連續隨機變量，那麼f(x，y) = $f_X(x)‧f_Y(y)$
例1：
X和Y是否獨立？
例2：設X和Y為連續隨機變量