预备知识：

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（其中φ(1)=1）

通式为：

其中p1,p2...pn为x所有质因数，x是不为0的整数。

特殊：若n为质数p的k次幂，

因为除了p的倍数外，其他数都与n互质。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)
当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
当n为质数时，φ(n)=n-1

P.S.积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
完全积性函数：对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
性质：
一 与算数基本定理有关。若将n表示为质因子分解式 n = p1^a1p2^a2 ...pn^an ，则有f(n)=f(p1^a1)f(p2^a2 )...f(pn^an)
二 若r为积性函数且有f(pⁿ)=fⁿ(p)，则f为完全积性函数。

欧拉定理（数论）

在数论中，欧拉定理，（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n，a为正整数，且n，a互质，则：

应用：用来简化幂的模运算。
例如，计算7²²²的个位数。
分析：本质上就是求7²²²≡x(mod 10)，而容易知道φ(10)=4。
7²²²=(7⁴)⁵⁵ 7²≡x(mod 10)
7²≡x(mod 10)
9
所以答案就是9.

P.S. 费马小定理
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)，他还有另外一个描述，a^p ≡ a(mod p)
证明，p是质数，所以 φ(p) = p-1，带入欧拉即可。
应用：

费马小定理应用

密码学、信息论

对称加密，即对称算法：又是又叫传统密码算法，就是加密密钥能够从解密密钥中推算出来，反过来也成立。在大多数对称算法中，加密解密密钥是相同的。这些算法也叫密码密钥算法或单密钥算法。
非对称算法：也叫公开密钥加密，它是用两个数学相关的密钥对信息进行编码。其中一个密钥为公开密钥（公钥），另一个叫私有密钥（私钥）。

非对称算法运用过程：
1）乙方生成两把密钥，公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥是保密的。
2）甲方获取乙方的公钥，然后它对信息加密。
3）乙方得到加密信息后，用私钥解密。

RSA算法

1）选择两个很大的素数P和Q 。
然后计算N=PQ和φ(N)=(P-1)(Q-1)
2）找到一个与φ(N)互质的整数E（也叫“模范元素”）
3）找一个整数D，使得ED ≡ 1 (mod φ(N))

其中公钥是（E,N），密钥是（D,N）
设密文为X，则
加密：X^E ≡ Y (mod N)
获得Y
解密：Y^D ≡ X (mod N)

正确性讨论：
第一，不能直接通过公钥（E,N）推出X是不科学的，会有无数个X（比如2³ ≡ 1 (mod 3)，你可能推出X=2,4...）
第二，必须尝试推出D
1）ED ≡ 1 (mod φ(N))，只有知道E和φ(N)，才能推D
2）φ(N)=(P-1)(Q-1),只有知道P和Q，才能推φ(N)
3）N=PQ，只有对N做因数分解，才能推出P和Q

对大整数的因数分解是一件非常困难的事情。

RSA算法的证明

要证明私钥解密出来的答案一定是正确的X，即证明

证明