第一章 集合与函数的概念
1.1 集 合
- 集合：元素组成的主体叫做集合，集合常用大写字母 A,B,C....表示，元素常用小写字母 a,b,c.... 表示
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集合的性质：
确定性：要么属于该集合，要么不属于该集合。 互异性：同一个集合中，相同的元素只能出现一次。 无序性：集合中的元素没有先后顺序。 注意：（应用广泛，求值时，用互异性判断所求值是否符合题意）
- 集合表示法：
| 列举法 | 用 { }把元素一 一列举出来 |
| 描述法 |
格式： { x ∈ A丨p( x ) } 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化），再画一条竖线，在后面写出集合中所有元素所具有的共同特点 例：由大于10小于20组成的集合：A = { x ∈ Z丨10 < x < 20 } |
| 图示法 | 画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合 |
注意：
①：在使用列举法时，元素用，号隔开，不可以有重复的元素，只要元素相同，那么两个集合就相等，不在意顺序的。
②：若，用列举法表示很多元素，那么一定要元素间的规律列举出来之后，才可以写······
- 元素与集合的关系：属于 ∈ ，不属于 ∉。
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集合的分类：
集合： 按元素属性分： 数集（元素是数） 点集（元素时点） 其他集合 按元素的多少分： 有限集（元素的个数是有限个） 无限集（元素的个数是无限个）
- 数集符号：
- N*：正整数集，也记作N+
- N：非负整数集（或自然数集）。
- Z：整数集（所有整数）。
- Q：有理数集。
- R：实数集。
- C：负数集。
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子集：若任意的 x ∈ A，都有 x ∈ B ，则A是B的子集，记作 A ⊆ B。
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真子集：若 A ⊆ B，且B存在元素 b ∉ A，b ∈ B ，则 A是B的真子集，记作 A ⫋ B。
∈ ∉ 只能表示元素和集合之间的关系。 ⊆ ⫋ = 只能表示集合与集合之间的关系。 两个集合 如果 A ∈ B ，且 B ∈ A，则这两个集合相等 A = B 。 -
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
注意在集合运算中别漏了 ∅。 空集是任何集合的子集。 ∅ ∈ A 空集和任何非空集合的真子集。 ∅ ∈ A (A ≠ ∅) -
Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这样的图称为 Venn 图。
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交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做 A B 的交集。记作 A ∩ B 。
A ∩ B = { x | x ∈ A, 且x ∈ B } 每个集合的交集是它本身。 任何集合与空集的交集是空集。 A 与 B 的交集 ，∈ A 也∈ B。
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并集：由属于集合 A ，和属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做 A B 的并集。记作 A ∪ B。
并集也就是两个集合的所有元素加起来，并去除重复的元素就是并集。 每个集合和空集的并集是它本身。 A U B ，A 和 B 都∈ A ∪ B。
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全集：如果一个集合包含我们研究问题汇总涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。记作 U。
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全集性质：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。它含有所研究问题有关的各个集合的全部元素。
在研究数集时，常吧实数集R看做是全集。 在研究三维空间时，平面是全集的一个子集。 在研究平面集合中，整个平面可以看做是一个子集。 -
补集：设U是一个全集，A 是 U 的一个子集，（即A ∈ U），由U中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做，子集 A 在全集 U 中的补集，记作 CuA,即 CuA = { x | x ∈ U ，且 x ∉ A}。
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补集的性质：
(1)：A ∪ CuA = U 集合A + 集合A 的 补集 = U (一个集合和本身补集的 并集 等于 全集) (2)：A ∩ CuA = ∅ 集合A与集合A补集的交集 = ∅ (3)：Cu（CuA） = A t集合A的补集的补集等于它本身。 (4)：Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB） 集合A与集合B的并集的补集 = 集合A的补集 与 集合B的补集的 交集 (5)：Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB） 集合A与集合B的交集的补集 = 集合A的补集 与 集合B的补集的 并集 (6)：Cu∅ = U ∅的补集 = U (7)：CuU = ∅ U的补集 = ∅ -
集合的运算律：
交换律： A∩B = B∩A A∪B = B∪A 结合律： A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∪(B∪C) = (A∪B)∪C 分配率： A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 德·摩根定律 Cu（A∪B） = （CuA）∩（CuB） Cu（A∩B） = （CuA）∪（CuB） -
集合中元素的个数：
有限集合A的元素个数记作：card(A) card(A)∪card(B) = card(A) + card(B) - card(A∩B) 如果集合A、B的交集为∅，那么： card(A)∪card(B) = card(A) + card(B) 因为 card(空集) = 0 -
集合中子集的个数：
首先要明白，子集包括：集合所有元素不同组合（不包括顺序不同）、∅和本身。 然后，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（∅不是∅的真子集） A的子集个数是2² A的真子集个数是2² - 1（前提是A不是∅，减去的1是A集合的本身） A的非空子集个数是2² - 1（这个没什么好说的，集合A的本身也是集合A的子集，减去的1是∅） A的非空真子集个数是2² - 2（减去 本身 和 ∅） 注意： 平凡子集：就是自身及空集这两种特殊情形。因为每一个集合都有这两种子集，常称之为平凡子集。 -
奇/偶数集：
Z是全体整数组成的集合 奇数集 = { x|x = 2n-1,n∈Z} 偶数集 = { x|x = 2n,n∈Z} -
化简集合：
在解决集合问题时，要学会化简集合： 1.等式条件，要化简等式 2.大小关系，画数轴 3.多个集合，涉及到集合之间的关系，就画venn图 4.利用集合的性质：确定性，互异性，无序性。 5.补集思想：也就是正难则反，当正面解决比较困难的时候，就采取从反面突击解决问题。 -
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