用公式法解数列求和问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-11-21 15:20 被阅读0次

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【高考地位】

数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

【方法点评】

方法一公式法

解题步骤：

第一步结合所求结论，寻找已知与未知的关系；

第二步根据已知条件列方程求出未知量；

第三步利用前 $n$ 项和公式求和结果

【例】. $\{a_n\}$ 为等差数列， $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_7=7$ ， $S_{15}=75$ ， $T_n$ 为数列 $\left\{\dfrac{S_n}{n} \right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_n$ ．

【解析】

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项未 $a_1$ ，公差为 $d$ ，则 $S_n=na_1+\dfrac{1}{2}n(n-1)d$

$\therefore \begin{cases}7a_1+21d=7\\15a_1+105d=75\end{cases}$ ，即 $\begin{cases}a_1+3d=1\\a1+7d=5\end{cases}$

解得 $a_1=-2$ ， $d=1$ ，

$\therefore \dfrac{S_n}{n}=-2+\dfrac{1}{2}(n-1)=\dfrac{n}{2}-\dfrac{5}{2}$ ，

而 $\dfrac{S_{n-1}}{n}-\dfrac{S_n}{n}=\left(\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{5}{2} \right)-\left(\dfrac{n}{2}-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore$ 数列 $\left\{\dfrac{S_n}{n} \right\}$ 是等差数列，其首项为 $-2$ ，公差为 $\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore T_n=2n+\dfrac{1}{2}\cdot n(n-1)\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}n^2-\dfrac{9}{4}n$ .

【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前 $n$ 项和公式： $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$ ．

等比数列前 $n$ 项和公式： $S_n=\begin{cases}na_1(q=1)\\ \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a_1-a_n q}{1-q}\end{cases}(q\neq1)$ ．

自然数方幂和公式：

$1+2+3+…+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$1^2+2^2+3^2+…+n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$1^3+2^3+3^3+…+n^3=\left[\dfrac{1}{2}n(n+1)\right ]^2$

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