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用分组法解数列求和问题

用分组法解数列求和问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-12-23 08:29 被阅读0次
用分组法解数列求和问题

方法二 分组法

解题步骤：

第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；

第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；

第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.

【例】 已知数列\{a_n\}是3＋2－1,6＋2^2－1,9＋2^3－1,12＋2^4－1，…，写出数列\{a_n\}的通项公式并求其前n项和S_n

分析：先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解。

解：由已知得，数列\{a_n\}的通项公式为：a_n=3n+2^n-1=3n-1+2^n，

\therefore S_n=a_1+a_2+…+a_n
=(2+5+…+3n-1)+(2+2^2+…+2^n)

=\dfrac{n(2+3n-1)}{2}+\dfrac{2(1-2^n)}{1-2}

=\dfrac{1}{2}(3n+1)+2^{n+1}-2

【总结】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含字母的数列中对字母的讨论。

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