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用分组法解数列求和问题

用分组法解数列求和问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-12-23 08:29 被阅读0次
    用分组法解数列求和问题

    方法二 分组法

    解题步骤:

    第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式;

    第二步 巧拆分:即根据通项公式特征,将其分解为几个可以直接求和的数列;

    第三步 分别求和:即分别求出各个数列的和;

    第四步 组合:即把拆分后每个数列的求和进行组合,可求得原数列的和.

    【例】 已知数列\{a_n\}3+2-1,6+2^2-1,9+2^3-1,12+2^4-1,…,写出数列\{a_n\}的通项公式并求其前n项和S_n

    分析:先写出通项,然后对通项变形,分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解。

    解:由已知得,数列\{a_n\}的通项公式为:a_n=3n+2^n-1=3n-1+2^n

    \therefore S_n=a_1+a_2+…+a_n
    =(2+5+…+3n-1)+(2+2^2+…+2^n)

    =\dfrac{n(2+3n-1)}{2}+\dfrac{2(1-2^n)}{1-2}

    =\dfrac{1}{2}(3n+1)+2^{n+1}-2

    【总结】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和差,从而求得原数列的和,这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化,特别注意在含字母的数列中对字母的讨论。

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