1、现象

移动平均后的频谱可以起到抑制高频分量的作用

2、常见的移动平均【1】

移动平均的本质是一种低通滤波。它的目的是过滤掉时间序列中的高频扰动，保留有用的低频趋势。

常见的方法包括：简单移动平均、加权移动平均、指数移动平均、分形移动平均以及赫尔移动平均等。

简单移动平均（Simple Moving Average, SMA）就是对时间序列直接求等权重均值，因此使用简单。但其最令人诟病的就是它的滞后性。从上图不难看出，随着计算窗口  的增大，移动平均线越来越平滑，但同时也越来越滞后。以 120 日均线为例，在 2015 年 6 月份之后的大熊市开始了很长一段时间之后，120 日均线才开始呈现下降趋势。如果我们按照这个趋势进行投资，那这个滞后无疑造成了巨额的亏损。

滞后性说明由简单移动平均计算得到的低频趋势对近期的最新数据不够敏感。这是由于它在计算低频趋势时，对窗口内所有的数据点都给予相同的权重。按着这个思路延伸，自然的想法就是在计算移动平均时，给近期的数据更高的权重，而给窗口内较远的数据更低的权重，以更快的捕捉近期的变化。由此便得到了加权移动平均和指数移动平均。

三种移动平均和原始数据的对比

分形移动平均通过一个简单的公式计算从时间序列从当前时点往前2T的分形维数D。分形维数描述时间序列的趋势，其取值在 1 到 2 之间，越大说明趋势越明显，越小说明时间序列越随机。

分形移动平均（FRAMA）与其它的比对

赫尔移动平均的计算步骤：

（以上方法的具体介绍可以参见参考资料【1】，原理可以参考资料【2】）

3、移动平均的滞后性【1】

事实上，任何移动平均算法都会呈现一定的滞后性。它以滞后性的代价换来了平滑性，移动平均必须在平滑性和滞后性之间取舍。然而，滞后性是怎么产生的呢？简单移动平均在时间上滞后多少呢？有没有什么高级的移动平均算法能在保证平滑性的同时将滞后性减小到最低呢？这些就是本文要回答的问题。

4、移动平均与低通滤波的关系【2】

这时候我们可以计算它的传递函数，可以发现传递函数是通低阻高的，所以移动平均是一个低通滤波器.（参考资料【2】中对齐数学过程有详细的推导，不过过程在H（z）那步我没有看懂~~）

1）信号学中滤波器的分类

2）均线滤波器的传递函数

传递函数就是微分方程或差分方程的一种表示方法。因为人类解微分方程的能力很弱，写成传递函数的形式有助于在不直接求解的情况下分析解的一些性质。

可以看出，简单均线能起到一定的低通滤波效果（因为是e-jw吗？），滤除短期高频噪声，但是时间上延迟非常大，对所有频率分量SMA在时间上滞后了(N-1)/2

双均线趋势策略的原理解释：滤除了高频噪声后，当存在趋势时，由于短周期均线和长周期均线对低频趋势的滞后不同，有趋势时短均线变化值大于长均线变化值，离差扩大，导致金叉和死叉。

（这个结论和我们上面的分析也是一致的）

参考资料（非常推荐的两篇文章）

【1】https://zhuanlan.zhihu.com/p/38276041    移动平均：你知道的与你不知道的

【2】https://zhuanlan.zhihu.com/p/50391691    自适应滤波器(1)