1. 大 O 复杂度表示法
- 时间复杂度就是算法的执行效率，也就是算法代码执行的时间; 大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时渐进时间复杂度（asymptotic time complexity).
- 所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比.
- 时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量.
1-1代码片段
代码片段分析: 假设每行代码的执行时间都相同, 且为unit_time; 第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)unit_time.
大O公式
大O公式分析: T(n)表示所有代码执行的时间；n 表示数据规模的大小; f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O 表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
2. 时间复杂度分析
- 只关注循环执行次数最多的一段代码: 在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了, 常量级的执行时间就可以忽略不计了.
还以1-1代码片段为例
分析: 其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5行代码，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n).
2.1 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
2-1代码片段
代码片段分析: 该段代码可分为三部分, sum1,sum2,sum3, 且无内嵌套, 按照上面的分析方法可得出三部分对应的时间复杂度依次为100, O(n) 和 O(n^2), 所以根据加法法则这一段代码的时间复杂度为O(n^2).
注意: 不管代码循环了1000次还是1000000次, 只要是一个已知数, 跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间,当 n 无限大的时候，就可以忽略.
2.2 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
2-2代码片段
代码片段分析: 单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2).
3. 常见的时间复杂度分析
3.1 O(1) :
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。3.2 O(logn)、O(nlogn) :
变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束, 就是一个等比数列.
...
所以, 只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。 ()
那么把上面代码中的*2 修改成 *3呢? 时间复杂度是多少呢? ()
分析得出: 对数之间是可以互相转换的，
就等于
，所以
，其中
是一个常量, 就可以忽略这个系数, 因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。而O(nlogn)则是由乘法法则, 如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn).
3.3 O(m+n)、O(m*n) :
m 和 n 是表示两个数据规模。无法事先评估 m 和 n谁的量级大，所以在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个了.
4. 空间复杂度
- 空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系.
代码片段分析:第 2 行代码中，申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)
5. 最好、最坏、平均时间复杂度计算
- 下面的代码片段需求: 在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1.
// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
代码分析:
- 如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1).
- 但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n).
最好情况时间复杂度（best case time complexity): 在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。最坏情况时间复杂度（worst case time complexity): 在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。平均情况时间复杂度（average case time complexity): (两种表示方法)
表示法1: 要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即:
时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n).
表示法2: 全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度(也就是概率论中的加权平均数): 要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2, 另外，要查找的数据出现在0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。即:
同样用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n).
6. 均摊时间复杂度（amortized time complexity)
- 下面的代码片段需求: 实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后, 也就是代码中的 count == array.length时，用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
// array 表示一个长度为 n 的数组
// 代码中的 array.length 就等于 n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}
代码分析:
- 最理想的情况,数组中还有位置, 直接插入, 时间复杂度为O(1)
- 最坏的情况下, 数组已没有空闲位置, 需要进行一次数组遍历求和,然后插入数组,时间复杂度为O(n)
- 平均的情况下, 假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，求得的平均时间复杂度就是O(1).
结论 : 在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度.
即:每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1).
.End(图片素材均来自网络, 侵删)
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