贝叶斯法进行系统发育分析（2）分布的思想

以下内容非原创， 来自Sam Houston State University 的 Christopher Randle教授来组上交流时的材料翻译。本人翻译和学术能力有限，仅供参考。

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在上节中，我们通过抛硬币的例子，简单介绍了贝叶斯思想，以及贝叶斯法和最大似然法的区别，这一节我们将讲到如何将贝叶斯方法应用到系统发育分析中。

Distributional thinking 分布的思想

在贝叶斯分析方法中， 系统发育树的拓扑结构和模型参数，以及树的枝长都被当做自由参数。在系统学中，树的拓扑结构是最重要的参数，其他的参数都是讨厌参数（nuisance parameter，在统计学中，讨厌参数指在分析过程中不感兴趣但需要考虑的参数，通常会对分析结果产生影响）。

在用最大似然法进行分析时，我们是给定了拓扑结构，调整模型中的其他参数，找到使得该拓扑结构下的似然值最大的参数值，最后选出具有最大似然值的拓扑结构。整个过程中，参数值就是一个点数值，不涉及分布。但贝叶斯方法是为每一个参数提供了后验分布，也就是说参数在取任意值时的概率的汇总。拓扑结构的后验分布提供了每一种拓扑结构在模型参数能取到的所有值下的后验分布

ML seeks trees that maximize probability of the data conditional on parameter values.

Bayesian phylogenetics seeks trees maximize probability of data over all parameter space.

我们可以通过下图来清晰认识二者的不同：

上图表示，在贝叶斯分析中，对于给定的拓扑结构t1,其后验概率为所有可能的参数下的概率总和，也就是图中曲线下的灰色面积。而在最大似然法分析中，我们要找的是使得似然值最大的参数值，也就是图中曲线最高峰对应的参数值。

在最大似然法一章中，，我们讲到的只是条件似然值（conditional likelihood），或者说是某一系统发育树，在固定参数值下的似然值。当我们估算一个树的后验概率时，似然值指的就是某一系统发育树，所有可能参数值汇总的似然值，也称为边际似然值（marginal likelihood），包括数据（x），枝长参数（β），和演化模型参数（μ）。

边际似然值表示如下：

再来一张图：

Bayesian phylogenetic seeks trees maximize probability of data over all parameter space.

在上图中，最大似然法找到的拓扑结构t2，使得数据的条件概率（y轴值）最大，而贝叶斯法找到的拓扑结构t1，使得数据的边际概率（曲线下的面积）最大。

最后总结一下：用贝叶斯法进行系统发育分析，其估算的是后验概率，后验概率指对于某一特定拓扑结构，在给定的数据、演化模型，树的枝长和先验概率下估算出的概率，其计算公式如下：

Choice of Priors先验的选择

假设你面前有一个明代的花瓶，我问你一个问题：从这个花瓶中拿出一枚红色豆子的概率是多少?

你肯定被问的一头雾水。如果我不提供其他信息，你肯定不知道如何回答，你反而有很多问题要问：

这个花瓶是哪里来的？谁往里面放了豆子？

明花瓶中有豆子的概率有多少？

豆子是红色的概率是多少？

在对参数进行估算之前，首先要对先验分布进行提前规定。在我们之前举的抛硬币的例子里，先验的选择是很简单的（口袋里真硬币的概率是1/20），但在很多情况下，先验信息是缺失的，比如系统发育分析。频率论派和贝叶斯派争论的焦点就在于，在先验信息缺失的情况下，先验如何被准确表达。

概率派的Fisher有言：

Inverse pobability is perhaps the only mistake to which the mathemetical world has so deeply commintted itself

注：inverse probability就是指后验概率。

基于如何解决先验选择的问题，贝叶斯派分成了三大阵营：

第一阵营——客观法(Objective Bayes)：选择一个比较模糊的先验，所选的先验对后续后验分布估算的影响尽可能小（as uninformative as possible），也就是说所选的先验并不是为了提供有效信息，而是为了给后验估算提供一个起点。

第二阵营——经验法(Empirical Bayes)：通过手中的数据进行采样来表达先验，和推理过程中的bootstrapping方法类似。

第二阵营——主观法(Subjective Bayes)：只要符合概率微积分运算，该方法派并不关心先验的形式。先验先验代表的是batting rates，在广泛的先验范围中，最优解决方案会被找出来，主观的先验就变成了主观的后验，然后再之后的数据估算中用作先验。因此，尽管不同的研究者在数据计算的起点怀有不同的认知信念，经过一段计算时间后，他们的认知信念会趋同。

从表面上看，贝叶斯系统发育分析遵循的是客观法，在选择先验分布的时候，通常使得先验分布对后验分布估算的影响最小。这种分布通常被描述为含糊的(vague)或者弥散的(diffuse)，对所有参数值分配较为均一的概率。而对于连续变量，先验分布应该是合理的，意味着分布曲线下的面积和为1。

能提供最小信息的先验分布可能就是均一的平直线，所有参数值对应的分布密度都相等，

下图提供了三种提供最小信息量的分布曲线的例子：

图A显示的是参数范围被限定（1-4之间），绝对均一的先验分布，对1-4之间的任意参数值，其分布密度都相等。

B、C显示的是参数范围边界没有被限定，弥散的先验分布，假设真实的参数值在1-4之间，在这个范围内的先验分布是比较均一的。

Topology：uniform bounded (A)

Branch lengths and Gamma:Uniform bounded (A) or exponential (B)

Rate and Frequency Parameters：Dirichlet priors（C）

系统发育树拓扑结构是一个离散变量，因为对给定数量(n)的分类单元，可能的完全二岐树的数量是有限的。常用于拓扑结构的先验分布为每一个拓扑结构赋予相同的先验概率1/m，m是对给定的n个分类单元下的所有可能的拓扑结构的数量

指代速率异质性的参数α (伽马分布曲线的形状参数)和分支长度的先验分布常采用如A一样的有界限的，均一分布曲线，或采用B一样的在期望值范围内较为均一的指数函数曲线。

在DNA替代模型中，替代速率参数和核苷酸频率参数的先验分布通常是狄氏分布(Dirichlet distribution)。狄氏分布是一个多元分布（multivariant distribution，一种描述多个随机变量的联合概率分布，用于研究多个随机变量之间的关系），可以同时表现出所有速率参数或核苷酸频率参数的先验分布，而且其分布密度曲线可以为提供信息较少的平直线。