对于一个已有数学概念的拓展，背后一定存在着某种需求或说是待解决的问题，不过这依旧是一种很“表层”的解释，与其说是在解决新问题，不如说在最开始我们实际上并没有究其根本，而是单纯的从“利于初中学生理解”的角度来教学的——这件事情在初中许多的定义中就已经展现的淋淋尽致了，比如解直角三角形、函数定义的来源等等。这些在高中到大学会继续开展深入教学的内容，在初中阶段实际上是一个个被从大内容中单拎出来的知识散点，没什么延续的实际意义——我们当然可以说：“初中阶段的解直角形和高中所要学习的三角函数并不是一个东西，而且从锐角三角形的三角函数到任意三角形的三角函数就是一个从一般性到普遍性的过程 。”的确，数学发展史上也是如此——三角函数的前世实际上是众位天文学家在计算天体的位置时计算出的一些特使三角形的边角对应关系，但是问题在于这种边角关系中没几个时很直观的——有一些可以用勾股定理加上一些关系推理得出，例如45°、75°、30°等，但有了这些特殊值显然是不能得出一个一般的边角关系的，那问题就出现了，三角函数最初是在一个坐标系中定义还是单纯代数上边角关系？无论如何，前者是更直观的：一个以原点为圆心的圆形上所有的点，在纵横坐标与对应角度上有着恒有的对应关系——这或许解释为来源于轨迹这个分支更好理解。
比起三角函数与解直角三角形，那些“可以只用基本运算符号表示的函数”或许更好讨论，毕竟它们从初中到高中有一定的延续性，比如最直接的一次函数----二次函数----反比例函数（复一次函数）------幂函数；还有与前一个函数大家族有着密切关联，但在推理上不那么直观的指数函数----对数函数。它们是在我们的已有认知中有迹可循，可以循序渐进的探究的。
到此，不得不提起我们对函数的定义：在一个两个变量的对应关系中，如果对于每一个自变量x，有且仅有一个确定的因变量y与其对应，那么我们把这个关系叫做函数关系。这条定义至少放在我们现在所接触到的所有地方都有意义，不过我们在高中有着另一种大差不差的说法：在某两变量的对应关系中，对于每一个属于定义域的自变量x，有且仅有一个确定的因变量y与其对应。
而到了高数，课本中才终于设计了函数的前身到底是谁——映射，首先声明，这里的“前身”与其在数学发展史上的先后顺序无关——人类在科学领域的突破当然是从小的生活问题上升至大的科学理论，但是这并不影响科学理论是众多事情的依据与本质，也就是我所说的前身。
在高数课本中，我们对函数的定义没怎么变，但他基于映射给出了一个“判定式”，在不讨论映射的情况下可以这样表述：存在一个法则（就是一个变量间的关系），与一个定义域，就可以确定一个函数。
函数单单在定义上就有了很明显的拓展：对于变量在取值范围上的约束。主要还是定义域，因为到后面就是高数中的“判定式”所说的那样，值域是一件随之而确定的事情。
对于变量在取值范围上的约束是一个走向精确的过程，同时也让原本单调的函数家族有了更多的新成员、函数图像也变得更加复杂有趣——于是，对于函数的图像的讨论变得尤为重要，毕竟相对它们足够了解并留下印象，离不开它们各自所拥有的特点：一方面，我们可以用更为严谨的方式去证明前面已经从课本中知晓的定理，另一方面，我们也可以从现有的已知条件出发，进而寻找并证明更多未知的图像性质。比如说，对于每一个函数，我们都可以讨论他在每一段（以自变量划分）的趋势，然后到这个函数在每一个时刻的变化速率等等。
在此我最想说的仍旧是函数的那句最经典的名言“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”就像对于图像性质的证明，显然是一个“入微”的过程，那么就少不了代数的部分；同时对于函数解析式的性质，我们也需要图像去直观展示——我想，在高中，进一步去构建代数与图像之间的关系也是数学中不可或缺的一个部分。
简单来说，高中的数学内容加入了更多抽象化的符号与符号语言，这使得数学在逐渐趋向于简洁明了，甚至有时的代数表达式可以体现出一种类似于几何图像的直观性——如果一个代数式拥有了一定的直观性，那么在进行操作的时候我们很容易看到每一步背后的本质、支持这样操作的依据以及这个问题存在的合理性（稍微解释一下，意思就是一个好的题目之所以存在，是因为他是在数学思考中顺其自然出现的问题，而不是单纯的为了解题而解题——这句话放在简单的题目中会显得很扯）。
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