理解二进制原码 反码 补码

二进制原码 反码 补码理解

1. 二进制和十进制

• 十进制

  我们对于十进制想必是十分熟悉的，基本上我们每时每刻都在运用它们，小到早上起来买早餐 大到我们买房的时候削尖脑袋琢磨怎么贷款所耗费的钱最少，虽然最终都是背上30年的债务，有的甚至到死还在还贷。对于二进制，如果不是编程人员想必就很少接触了。

  • 二进制

    二进制其实很大程度上和十进制是相同的，十进制是逢十进一而二进制则是逢二进一
    

    QQ截图20181225164457.png

  • CPU的二进制如何运算

    在我们实际编程中，我们需要知道计算机中的CPU只是实现的二进制的加法运算，如上图展示的那样。那么我们会有一个疑问那么计算机中的减法又是如何实现的？

    以java语言为例：int型是32位，最高位为符号位：0 代表正数 1代表负数 所以说 int最大的正整数是2^31-1 最小的负数 -2^31。其他类型的就可以以此类推了。在介绍计算机的减法实现时，我们首先需要知道两个概念：上溢出 和 下溢出

    上溢出：在最大的正整数在加1的情况下就会发生溢出，这时所说的溢出就是上溢出。同理下溢出就是 超出了下限。

    
    上溢出.png

这里我们可以知道，在最大正整数加1时我们得到的值是 -2^31 就这样周而复始的无限循环。这里对于这一块不熟悉的可能不太好理解，用一张图来表示会更加直观一点

溢出之后.png
右边的箭头朝上的部分表示溢出区间，为什么只表示这一部分，因为过了这一部分如果继续溢出，相当于又回到原来的起点，这样就形成一个循环。这里其实用到了一个取模的概念。这里举一个例子应该就明白了，如果我们对一个整数9取模 那么他所有的取模结果都会落在 1-8之间 这就像上面我们的所有结果都落在 -2^(n-1) 和2^(n-1)-1 之间，那么同理我们就知道我们的取模除数就是 2^(n-1)+2(n-1)-1+1 了。所以我们可以知道这里的取模除数就是2^{n，这里我们需要做一个小小的处理，将2}n 看成 2^{n-1+1。因为如果是2}n是n+1位了 超过了n的表示范围。铺垫的差不多了，我们开始我们的 原码 反码 补码之旅了。
- 原码 反码 补码的关系
我们上课的时候都听老师说过，正数的 原码 反码 补码都一样，负数的 反码等于原码取反，补码等于反码加1。至于为什么，老师也没说。有了上面的铺垫，我们就可以来看看计算机的减法到底是怎么来实现的。
还是以例子来开路：现在我们需要计算 i-j 那么根据取模的除数，我们可以将i-j 等价于 i-j=i-j+(2^n-1+1)=i+(2n-1-j+1).
我们分部来解析这个表达式我们就可以揭开它的神秘面纱了
1. 2^n-1 我们在不考虑符号位的情况下，前n-1位全部为1 ，所以 2^n-1 -j可以等价于 这里先以 2^n-1 -2 当j等于2时为例：
取反2.png
2. 从返回的结果来看 2^n-1 -2 是不是对应了 负数的符号位不变其他取反，在这里 2^n-1 -j其实就是相当于j的反码。
3. 因为最终计算机的操作都是以补码进行运算 同样我们 (2^n-1-j +1）=> -j的反码+1=-j补码
根据上面我们所以可以得出 负数的反码等于 负数的原码除符号位取反 负数的补码等于 负数的反码+1