1. 函数的奇偶性

作者: 波波在敲代码 | 来源:发表于2019-05-25 22:02 被阅读0次

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奇函数：

定义域关于原点对称
$f(-x) + f(x) = 0$
图像关于(0, 0)对称
若 $f(0)$ 存在，则 $f(0) = 0$

偶函数：

定义域关于原点对称
$f(-x) - f(x) = 0$
图像关于 $x = 0$ 对称

对于任意函数f(x)都可以将其表示为一个偶函数 $g(x)$ 和一个奇函数 $h(x)$ 之和，其中：

$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

$h(x) =\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

对于任意的非奇非偶函数都可以拆分成一个偶函数和一个奇函数之和，一个偶函数拆分后会得到自身（偶函数）以及0（奇函数），而一个奇函数拆分后会得到自身（奇函数）以及0（偶函数）。

例 1:

对于奇函数 $f(x)$ ，当 $x\geq0$ 时， $f(x) = x(1 + \sqrt[3]{x})$ 。求 $x<0$ 时 $f(x)$ 的值。

解：

$f(x)_{x<0} = -f(-x)_{-x>0}=-(-x)(1+\sqrt[3]{-x})=x(1-\sqrt[3]{x})$

即：

$f(x)=\left\{\begin{array}{}{x(1+\sqrt[3]{x})} & {x>0} \\ {x(1-\sqrt[3]{x})} & {x<0}\end{array}\right.$

例2：

对于偶函数 $f(x)$ ,当 $x\geq0$ 时， $f(x) = x(1+\sqrt[3]{x})$ 。求 $x<0$ 时， $f(x)$ 的值。

解：

$f(x)_{x<0} = f(-x)_{x\geq0}=-x(1+\sqrt[3]{-x})=-x(1-\sqrt[3]{x})$

即：

$f(x)=\left\{\begin{array}{}{x(1+\sqrt[3]{x})} & {x\geq0}\\{-x(1-\sqrt[3]{x})} &{x<0}\end{array}\right.$

例3：

$f(x)=ax^2+bx+3a+b$ 是偶函数，定义域为 $[a-1, 2a]$ ，求a与b的值。

解：

因为 $a(-x)^2=a(x)^2$ ，而 $b(-x)=-bx$ ，而 $f(x)$ 为偶函数，所以 $b=0$ 。

而偶函数的定义域必定关于0点对称，即互为相反数，也即相加为0。

故：

$a-1+2a=0$

$\Rightarrow$ $a = \frac{1}{3}$

即：

$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}} \\ {b=0}\end{array}\right.$

例4：

已知 $f(x)=-x^{2005}+a x^{3}-\frac{b}{x}-8$ ，且 $f(-2)=10$ ，求 $f(2)$ 。

解：

虽然f(x)中x系数均为奇数，然而因为-8的存在，因此 $f(x)$ 为非奇非偶函数。

令 $g(x)=f(x)+8=x^{2005}+ax^{3}-\frac{b}{x}$

$\Rightarrow$ $g(-2)= f(-2)+8$

利用 $f(-2)=10$

$\Rightarrow$ $g(-2) =18$

而 $g(x)$ 为一个奇函数。

所以 $g(2) = -g(-2)=-18$

$g(2)=f(2)+8$ $\Rightarrow$ $f(2)=g(2)-8$

$\Rightarrow$ $f(2)=-18-8=-26$

即： $f(2)=-26$

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