十二个硬币

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问题描述

假设你有十二个硬币，其中有一个是假币，重量和其他硬币不一样。如果你有三次使用测量天平的机会，你该怎么做？

解决方法

首先，先把十二个硬币编号，编号从1到12。然后将十二个硬币分成三组，从三组中拿出两组进行第一次称量。假设A组为：1，2，3，4 ；B组为5，6，7，8.那么称量结果有三种：

    1.｛1，2，3，4｝＝｛5，6，7，8｝ ； 
    2.｛1，2，3，4｝＞｛5，6，7，8｝ ；
    3.｛1，2，3，4｝＜｛5，6，7，8｝ ；

可能性一(｛1，2，3，4｝＝｛5，6，7，8｝):
如果｛1，2，3，4｝=｛5，6，7，8｝;那么假币出现在9，10，11，12这四个当中，并且可以保证1到8都是真币。所以我们从1到8中任意挑选三个硬币，从9到12中也任意挑选三个硬币。假设第二次测量的两组，其中A组为：1，4，8；B组为：9，10，11。那么同样也会出现三种情况，即：

        1. ｛1，4，8｝＝｛9，10，11｝； 
        2. ｛1，4，8｝＞｛9，10，11｝；
        3. ｛1，4，8｝＜｛9，10，11｝；

当｛1，4，8｝=｛9，10，11｝时，说明12是假币，这时我们只需要从十一个真币当中挑选一个与假币12进行第三次测量即可；

当｛1，4，8｝>｛9，10，11｝，说明假币出现在9，10，11当中，并且假币的重量的是轻于真币的。这时我们从9，10，11当中随机挑选两个进行第三次测量。我们假设第三次测量的硬币为9，10。如果9>10,说明10是假币（通过第二次测量的结果知道了假币是轻的）;9<10,9是假币；9=10，那么11是假币。

同理可知：当｛1，4，8｝<｛9，10，11｝，假币重于真币。同样的从9，10，11当中挑选两个进行比较。如果相同，则剩下的一个是假币。反之谁重谁是假币。

可能性二(｛1，2，3，4｝＞｛5，6，7，8｝):
如果｛1，2，3，4｝>｛5，6，7，8｝,那么9，10，11，12为真币。这时我们从9，10，11，12当中任意挑选一个，与1，2，3，4，5，6，7，8八个硬币重新组合，并且在分成三组。假设我们挑选的是9号硬币，分成的三组为｛1，2，9｝，｛3，4，5｝，｛6，7，8｝。将第一组与第二组进行第二次测量。测量后的三种结果如下：

        1.｛1，2，9｝=｛3，4，5｝；
        2.｛1，2，9｝>｛3，4，5｝；
        3.｛1，2，9｝<｛3，4，5｝；

当｛1，2，9｝=｛3，4，5｝，说明6，7，8中有假币，且假币的重量轻。从6，7，8中随机挑选两个进行第三次测量。若二者重量相同，则剩下的是假币；否则谁轻谁是假币。

当｛1，2，9｝>｛3，4，5｝，说明1，2重，或者5就是假币并且重量轻。这时对1，2进行第三次测量。如果重量相等，则5是假币且重量轻。否则谁重谁是假币。

当｛1，2，9｝<｛3，4，5｝,说明3，4当中必有假币。并且谁重谁是假币。

注：5必不可能是假币。我们可以用反证法证明：如果5是假币，根据可能性二可以推测出假币的重量应该轻于真币。所以第二次测量的结果中就不可能出现｛1，2，9｝<｛3，4，5｝的情况。所以5是假币不成立。

可能性三(｛1，2，3，4｝＜｛5，6，7，8｝):
可以根据可能性二推出结果。