【矩阵】11、几种特殊的矩阵

【矩阵】11、几种特殊的矩阵

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-01-25 11:31 被阅读0次

几种特殊的矩阵.png

方阵

当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时，称矩阵为方阵。

$A_{n \times n}= \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1(n-1)}&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2(n-1)}&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ a_{(n-1)1}&a_{(n-1)2}&\cdots&a_{(n-1)(n-1)}&a_{(n-1)n}\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n(n-1)}&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

问：左上到右下为主对角线，主对角线上的元素有什么特征？
答：下标一致，不是方阵，没有主对角线。

问：右上到左下为斜对角线，斜对角线上的元素有什么特征？
答：左下和右上元素下标数字前后互换，不是方阵，没有主对角线。

零矩阵

所有元素为零，用大写的O表示。

$O_{m \times n}=\left( \begin{array}{cccc} 0&\cdots&0 \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ 0&\cdots&0 \end{array} \right)$

若 $m=n$ ，即 $O_{n \times n}$ ，称为 $n$ 阶零方阵。

对角矩阵

首先得有对角线，所以必须是方阵。对角矩阵用特殊符号 $\Lambda$ 表示。

$\Lambda=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&& \\ &\ddots& \\ &&a_{nn} \end{array} \right)$
其他没写出的元素都是零。

单位矩阵

对角线上的元素都是1，且其余元素为零，这种矩阵称作单位矩阵，记作 $E_{n}$ ， $n$ 为单位阵的阶数。

$E_{n}=\left( \begin{array}{cccc} 1&& \\ &\ddots& \\ &&1 \end{array} \right)$

数量矩阵

若对角线上的元素是相同的数k，得到的矩阵称为数量矩阵。

$\left( \begin{array}{cccc} k&& \\ &\ddots& \\ &&k \end{array} \right)$

问：对角阵、单位阵、数量阵的相同点是什么？
答：都是方阵，都有对角线。

三角阵

上三角阵和下三角阵统称为三角阵。

上三角阵： $\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ &a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ &&\ddots&\vdots \\ &&&a_{nn} \end{array} \right)$

下三角阵： $\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&&& \\ a_{21}&a_{22}&& \\ \vdots&\vdots&\ddots& \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

梯形阵

设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$ 为非零矩阵，若非零行（即至少有一个非零元素的行）全在零行的上面， $A$ 中各非零行中第一个（最后一个）非零元素前（后）面零元素的个数随行数增大而增多（减少），则称为上（下）梯形矩阵。简称为上（下）梯形阵，上下梯形阵统称为梯形阵。

上梯形阵：

$\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4&5 \\ 0&0&7&8&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cccc} 5&7&0&12&3 \\ 0&1&7&8&9 \\ 0&0&0&8&9 \\ 0&0&0&0&9 \\ \end{array} \right)$

下梯形阵：

$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 1&2&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0&0 \\ -9&6&0&0&0 \\ 1&2&3&0&0 \\ 5&2&3&3&0 \\ \end{array} \right)$

他们不是梯形阵：

$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0&0 \\ 5&0&6&0&0 \\ 2&3&4&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cccc} 4&4&3&2&1 \\ 1&2&3&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \end{array} \right)$

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