本文参考https://findneo.github.io/180727rsa-attack/ 为对其知识进行掌握，写此文章来梳理和加深记忆
前言：理解基本概念，本文将每种攻击方式实现方法提炼成了一个函数，便于理解原理也可以直接调用。
基础：
RSA概要：
在开始前可以通过 《RSA算法详解》 这篇文章了解关于RSA的基础知识，包括加解密方法，算法原理和可行性证明等。（特详细）
应用流程：
1.选取两个较大的互不相等的质数p和q 计算n =pq。
2.计算phi =（p-1）（q-1）。
3.选取任意的e，使得e满足1<e<phi 且 gcd(e,phi) ==1 .
4.计算e关于phi的模逆元d，即d满足（e*d）%phi ==1.
5.加解密：c=(m^e)%n ,m =(c^d)%n.其中m为明文，c为密文 （n,e）为公钥，d为私钥，要求0<=m<n.
求模逆可直接利用gmpy2库。如import gmpy2 print gmpy2.invert(47,30)可求得47模30的逆为23。
扩展欧几里得算法基于欧几里得算法，能够求出使得 ax+by=gcd(a,b) 的一组x,y。
常见攻击方式实践
准备工具
python gmpy2库 libnum库
yafu
RSATool2v17.exe
RSA解密
若已知私钥d，则可以直接解密：m=pow(c,d,n).
若已知质数p和q,则通过依次计算欧拉函数值phi、私钥d可解密。简易实现如下：
phi = (p - 1) * (q - 1)
n = p * q
try:
d = gmpy2.invert(e, phi) #求e模phi的逆
return pow(c, d, n)
except Exception as e:
print "e and phi are not coprime!"
raise e
在选取加密指数e时要求phi，e互质，也就是gcd(phi,e)==1 ，如果不满足是无法直接解密的。
SCTF2018的Crypto - a number problem，题目是：x**33=1926041757553905692219721422025224638913707 mod 3436415358139016629092568198745009225773259 tell me the smallest answer of x
其中n=3436415358139016629092568198745009225773259 可以直接分解得到p,q，出phi=(p-1)*(q-1) ，然后惊奇地发现gcd(phi,33)==3 。这时如果对加密过程比较熟悉的话，就可以想到实际上公钥e=11 ，明文是m=x^3 ，应该先求出m。然后再爆破x。
图片.png
使用yafu分解N
适用情况：p,q相差较大或较小时可快速分解。
使用方法：
yafu-x64.exe factor(233) ，yafu-x64.exe help模不互素gcd(N1,N2)!=1
多个模数n共用质数，则可以很容易利用欧几里得算法求得他们的质因数之一gcd(N1,N2) ，然后这个最大公约数可用于分解模数分别得到对应的p和q，即可进行解密。实现参照本文欧几里得算法 部分和RSA解密 部分。
共模攻击
适用情况：明文m、模数n相同，公钥指数e、密文c不同，gcd(e1,e2)==1
对同一明文的多次加密使用相同的模数和不同的公钥指数可能导致共模攻击。简单证明见代码注释。
Python实现：
def common_modulus(n, e1, e2, c1, c2): """ ref: https://crypto.stackexchange.com/questions/16283/how-to-use-common-modulus-attack ∵gcd(e1,e2)==1,∴由扩展欧几里得算法，存在e1*s1+e2*s2==1 ∴m==m^1==m^(e1*s1+e2*s2)==((m^e1)^s1)*((m^e2)^s2)==(c1^s1)*(c2^s2) """ assert (libnum.gcd(e1, e2) == 1) _, s1, s2 = gmpy2.gcdext(e1, e2) # 若s1<0，则c1^s1==(c1^-1)^(-s1)，其中c1^-1为c1模n的逆元。 m = pow(c1, s1, n) if s1 > 0 else pow(gmpy2.invert(c1, n), -s1, n) m *= pow(c2, s2, n) if s2 > 0 else pow(gmpy2.invert(c2, n), -s2, n) return m % n例子：QCTF2018-XMan选拔赛 / Xman-RSA 【共模攻击+模不互素】这道题利用了共模攻击和模不互素。刚开始是一个字符替换，与本文无关。encryption.encrypted文件被做了字符替换，根据语法确定替换表，修复文件得到源文件如下。
from os import urandom
import base64
def bytes_to_num(b):
return int(b.encode('hex'), 16)
def num_to_bytes(n):
b = hex(n)[2:-1]
b = '0' + b if len(b) % 2 == 1 else b
return b.decode('hex')
def get_a_prime(l):
random_seed = urandom(l)
num = bytes_to_num(random_seed)
while True:
if is_prime(num):
break
num += 1
return num
def encrypt(s, e, n):
p = bytes_to_num(s)
p = pow(p, e, n)
return num_to_bytes(p).encode('hex')
def separate(n):
p = n % 4
t = (p * p) % 4
return t == 1
f = open('flag.txt', 'r')
flag = f.read()
msg1 = ""
msg2 = ""
for i in range(len(flag)):
if separate(i):
msg2 += flag[i]
else:
msg1 += flag[i]
p1 = get_a_prime(128)
p2 = get_a_prime(128)
p3 = get_a_prime(128)
n1 = p1 * p2
n2 = p1 * p3
e = 0x1001
c1 = encrypt(msg1, e, n1)
c2 = encrypt(msg2, e, n2)
print(c1)
print(c2)
e1 = 0x1001
e2 = 0x101
p4 = get_a_prime(128)
p5 = get_a_prime(128)
n3 = p4 * p5
c1 = num_to_bytes(pow(n1, e1, n3)).encode('hex')
c2 = num_to_bytes(pow(n1, e2, n3)).encode('hex')
print(c1)
print(c2)
print(base64.b64encode(num_to_bytes(n2)))
print(base64.b64encode(num_to_bytes(n3)))
n2，n3已知，利用共模攻击得到n1，由gcd(n1,n2)==p1 分解n1，n2，就可解密得到两部分msg，拼接即可。
# by https://findneo.github.io/
import base64
import libnum
import gmpy2
def fix_py():
# decode encryption.encrypted
s1 = 'abdefghijklmpqrtuvwxyz'
s2 = 'dmenwfoxgpyhirasbktclu'
f1 = open('encryption.encrypted')
with open('encryption.py', 'w') as f2:
for i in f1.readlines():
tmp = ''
for j in i:
tmp += s2[s1.index(j)] if j in s1 else j
f2.write(tmp)
# fix_py()
def common_modulus(n, e1, e2, c1, c2):
assert (libnum.gcd(e1, e2) == 1)
_, s1, s2 = gmpy2.gcdext(e1, e2)
m = pow(c1, s1, n) if s1 > 0 else pow(gmpy2.invert(c1, n), -s1, n)
m *= pow(c2, s2, n) if s2 > 0 else pow(gmpy2.invert(c2, n), -s2, n)
m %= n
return m
[n2, n3] = map(lambda x: int(base64.b64decode(x).encode('hex'), 16),
open('n2&n3').readlines())
[n1c1, n1c2] = map(lambda x: int(x, 16), open('n1.encrypted').readlines())
[msg1c1, msg2c2] = map(lambda x: int(x, 16), open('ciphertext').readlines())
# 通过共模攻击得到n1
e1 = 0x1001
e2 = 0x101
n1 = common_modulus(n3, e1, e2, n1c1, n1c2)
# n1,n2有一个共有质因数p1
# n1 += n3 # 存在n3比n1小的可能，并且确实如此;貌似主办方中途改题，把n1改成小于n3了。
p1 = gmpy2.gcd(n1, n2)
assert (p1 != 1)
p2 = n1 / p1
p3 = n2 / p1
e = 0x1001
d1 = gmpy2.invert(e, (p1 - 1) * (p2 - 1))
d2 = gmpy2.invert(e, (p1 - 1) * (p3 - 1))
msg1 = pow(msg1c1, d1, n1)
msg2 = pow(msg2c2, d2, n2)
msg1 = hex(msg1)[2:].decode('hex')
msg2 = hex(msg2)[2:].decode('hex')
print msg1, msg2
# XA{RP0I_0Itrsigi s.y
# MNCYT_55_neetnvmrap}
# XMAN{CRYPT0_I5_50_Interestingvim rsa.py}
小明文攻击
适用情况：e较小，一般为3。
公钥e很小，明文m也不大的话，于是m^e=k*n+m 中的的k值很小甚至为0，爆破k或直接开三次方即可。Python实现：
print time.asctime(), "Let's waiting..."
for k in xrange(200000000):
if gmpy2.iroot(c + n * k, e)[1] == 1:
print time.asctime(), "...done!"
return gmpy2.iroot(c + n * k, 3)[0]
例子：Extremely hard RSA
题目提供的n是4096位的，e=3。
n=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
e=3
res=0
c=int(open('extremelyhardRSA.rar/flag.enc','rb').read().encode('hex'),16)
print time.asctime()
for i in xrange(200000000):
if gmpy2.iroot(c+n*i,3)[1]==1:
res=gmpy2.iroot(c+n*i,3)[0]
print i,res
print libnum.n2s(res)
print time.asctime()
break
Rabin加密中的N可被分解
适用情况：e==2
Rabin加密是RSA的衍生算法，e==2是Rabin加密典型特征，可以百度或阅读 https://en.wikipedia.org/wiki/Rabin_cryptosystem 以了解到详细的说明，这里只关注解密方法。一般先通过其他方法分解得到p，q，然后解密。
Python实现：
def rabin_decrypt(c, p, q, e=2):
n = p * q
mp = pow(c, (p + 1) / 4, p)
mq = pow(c, (q + 1) / 4, q)
yp = gmpy2.invert(p, q)
yq = gmpy2.invert(q, p)
r = (yp * p * mq + yq * q * mp) % n
rr = n - r
s = (yp * p * mq - yq * q * mp) % n
ss = n - s
return (r, rr, s, ss)
函数返回四个数，这其中只有一个是我们想要的明文，需要通过其他方式验证，当然CTF中显然就是flag字眼了。
image
例子：Jarvis OJ hard RSA
解题脚本
import gmpy2,libnum
n=0xC2636AE5C3D8E43FFB97AB09028F1AAC6C0BF6CD3D70EBCA281BFFE97FBE30DD
p=275127860351348928173285174381581152299
q=319576316814478949870590164193048041239
e=2
c=int(open('hardRSA.rar/flag.enc','rb').read().encode('hex'),16)
mp=pow(c,(p+1)/4,p)
mq=pow(c,(q+1)/4,q)
yp=gmpy2.invert(p,q)
yq=gmpy2.invert(q,p)
r=(yp*p*mq+yq*q*mp)%n
rr=n-r
s=(yp*p*mq-yq*q*mp)%n
ss=n-s
print libnum.n2s(r)
print libnum.n2s(rr)
print libnum.n2s(s)
print libnum.n2s(ss)
Wiener’s Attack
适用情况：e过大或过小。
工具：https://github.com/pablocelayes/rsa-wiener-attack
在e过大或过小的情况下，可使用算法从e中快速推断出d的值。详细的算法原理可以阅读：低解密指数攻击 。
import ContinuedFractions, Arithmetic
def wiener_hack(e, n):
# firstly git clone https://github.com/pablocelayes/rsa-wiener-attack.git !
frac = ContinuedFractions.rational_to_contfrac(e, n)
convergents = ContinuedFractions.convergents_from_contfrac(frac)
for (k, d) in convergents:
if k != 0 and (e * d - 1) % k == 0:
phi = (e * d - 1) // k
s = n - phi + 1
discr = s * s - 4 * n
if (discr >= 0):
t = Arithmetic.is_perfect_square(discr)
if t != -1 and (s + t) % 2 == 0:
print("Hacked!")
return d
return False
例子：2018强网杯nextrsa-Level2
n = 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
e = 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
d = wiener_hack(e, n)
print d #42043
**私钥文件修复
适用情况：提供破损的私钥文件。 **
例子：Jarvis OJ-God Like RSA
参考 https://www.40huo.cn/blog/rsa-private-key-recovery-and-oaep.html 修复存储私钥的文件，得到p和q。
**私钥修复
Python 脚本：**
#-*- coding:utf-8 -*-
import re
import pickle
from itertools import product
from libnum import invmod, gcd
def solve_linear(a, b, mod):
if a & 1 == 0 or b & 1 == 0:
return None
return (b * invmod(a, mod)) & (mod - 1) # hack for mod = power of 2
def to_n(s):
s = re.sub(r"[^0-9a-f]", "", s)
return int(s, 16)
def msk(s):
cleaned = "".join(map(lambda x: x[-2:], s.split(":")))
return msk_ranges(cleaned), msk_mask(cleaned), msk_val(cleaned)
def msk_ranges(s):
return [range(16) if c == " " else [int(c, 16)] for c in s]
def msk_mask(s):
return int("".join("0" if c == " " else "f" for c in s), 16)
def msk_val(s):
return int("".join("0" if c == " " else c for c in s), 16)
E = 65537
N = to_n("""00:c0:97:78:53:45:64:84:7d:8c:c4:b4:20:e9:33:
58:67:ec:78:3e:6c:f5:f0:5c:a0:3e:ee:dc:25:63:
d0:eb:2a:9e:ba:8f:19:52:a2:67:0b:e7:6e:b2:34:
b8:6d:50:76:e0:6a:d1:03:cf:77:33:d8:b1:e9:d7:
3b:e5:eb:1c:65:0c:25:96:fd:96:20:b9:7a:de:1d:
bf:fd:f2:b6:bf:81:3e:3e:47:44:43:98:bf:65:2f:
67:7e:27:75:f9:56:47:ba:c4:f0:4e:67:2b:da:e0:
1a:77:14:40:29:c1:a8:67:5a:8f:f5:2e:be:8e:82:
31:3d:43:26:d4:97:86:29:15:14:a9:69:36:2c:76:
ed:b5:90:eb:ec:6f:ce:d5:ca:24:1c:aa:f6:63:f8:
06:a2:62:cb:26:74:d3:5b:82:4b:b6:d5:e0:49:32:
7b:62:f8:05:c4:f7:0e:86:59:9b:f3:17:25:02:aa:
3c:97:78:84:7b:16:fd:1a:f5:67:cf:03:17:97:d0:
c6:69:85:f0:8d:fa:ce:ee:68:24:63:06:24:e1:e4:
4c:f8:e9:ad:25:c7:e0:c0:15:bb:b4:67:48:90:03:
9b:20:7f:0c:17:eb:9d:13:44:ab:ab:08:a5:c3:dc:
c1:98:88:c5:ce:4f:5a:87:9b:0b:bf:bd:d7:0e:a9:
09:59:81:fa:88:4f:59:60:6b:84:84:ad:d9:c7:25:
8c:e8:c0:e8:f7:26:9e:37:95:7c:e1:48:29:0f:51:
e7:bd:98:2f:f6:cc:80:e7:f0:32:0b:89:51:92:4e:
c2:6d:50:53:2b:3b:77:72:d1:bd:1a:1f:92:d7:12:
79:61:61:c5:a4:7e:b3:85:eb:f0:7c:6d:46:03:c5:
e6:d5:81:2c:ba:7e:ea:8d:51:7d:63:55:34:2a:b6:
d4:dc:31:5a:f1:99:e3:dc:8c:83:0b:a2:2a:d5:3c:
41:48:41:54:1a:a9:e8:b6:70:bf:d3:fe:ed:19:17:
14:94:13:b3:17:e3:8b:8e:6f:53:ed:e2:44:e8:4a:
32:d6:5c:0d:a8:80:f5:fc:02:e9:46:55:d5:a4:d3:
e7:c6:30:77:f9:73:e9:44:52:d8:13:9d:5d:bf:9e:
fa:3a:b5:96:79:82:5b:cd:19:5c:06:a9:00:96:fd:
4c:a4:73:88:1a:ec:3c:11:de:b9:3d:e0:50:00:1e:
ac:21:97:a1:96:7d:6b:15:f9:6c:c9:34:7f:70:d7:
9d:2d:d1:48:4a:81:71:f8:12:dd:32:ba:64:31:60:
08:26:4b:09:22:03:83:90:17:7f:f3:a7:72:57:bf:
89:6d:e4:d7:40:24:8b:7b:bd:df:33:c0:ff:30:2e:
e8:6c:1d""")
p_ranges, pmask_msk, pmask_val = msk(""" 0: e: : : :c :c : : : :b : : : : :
:ab: e: 2: 8:c : : : 1:6 :6 : 6: f:d9: 0:
8 :5c:7 :06: : : :0 : 3:5 :4b: :6 : : :
2 : :6 : : : :2 :bc: c: :85:1 : 1:d : 3:
1:b4: : b: 1: 3: d:a : : :6e: 0:b :2 : :
:b : :9 :e : :82:8d: : :13: : : a: a:
: :4 : :c : f: : :7 :e :0a: : : b: 5:
: e:91:3 : :3c: 9: : 6: : :b5:7d: 1: :
: : :b :a1:99:6 :4 :3 :c :1a:02:4 : : 9:
9 :f : d:bd: :0 : : : :b3: : 4: :e9: 9:
: d: : :7 : :93: : e:dc: : 0: :e7: :
e : :2 : b: 2:5 : : : : : c:5f: : :e2:
: : 9: :2a: : e: : :2 : :9f: 7:3 : :
b : f:b : : 8: 7: : :f :6 :e :c : :3 : :
f7: 5: 8: 5: : : : : : 8: e: :03: c: :
33:76:e : 1:7 : c: : 0: :0b: : a: : 2: 9:
:c8:bf: : :06: 7:d5: :02: c:b :e2: 7:2 :
: """)
q_ranges, qmask_msk, qmask_val = msk(""" 0: f: :d0: 1:55: 4:31: : b:c4:8 : : e: d:
34: 3:f : : : : : 8:99:1 : : a:0 : :4 :
0 : :f : :a4:41:2 : :a : : 1: : a: c: :
: : 9: : : 2:f4: f: : : : :1 : 4:9 :
a : : :79:0 : : : : : 2: 8:b : :4 : 8:
:9b: 1: :d : :f :e4: :4 :c :e : :3 : :
7:2 : :d :8 :2 :7 : :d :67:fc:e : 0:f9: 7:
8 : : : :1 :2f: :51: : :2e:0a: e:3d: 6:
b : :dd: : 0:fb: :f4: : : :b4: 9:c : :
a: : : :d : : :6b: 2: :9b: a:60: :d6:
0:4f:16:d1: : :5 :fc: :f : :8 : : : :
1: 6:e1:9 : e:4 : 6: c: d:d :73: 3: : :7 :
:8 : 9: :3b:f : 2: : :f1: e: : :1e: :
8 : : : 6:0 : 4:99:e : : 5: : : 4: : :
: a:81:64: :7 :f : 9: d: :9 : : 7:93:f :
ac:8c: : 8: : 0: d: 8: :7 : :1d: :f : :
1 :a :6 :8 : :60: :b3: : : :89: : :14:
:5 """)
_, dmask_msk, dmask_val = msk(""" : : : f:8 :a5:d : 2: 0:b :7 : : 1: : 4:
1:0d: :3 : :6 : : : b: : : :e : : :
0e: 0:db: :1a:1c:c0: : e: : :99:bc:8 :a5:
7 :7 :7 : b: : : 8: 8: :7 :55: 2: : :f :
b2: : :b :f :4 : : 8: :b : : : : 0: :
0 : :6 :9 : : : : b: 4: : 0: a: 5:07:b :
9: c:9a: 9: : 7:9e: : b:60:f : : : :0 :
: 3:0 : : : : 1:b : : : b: 6:0 :f : :
: 2:18: 6: b:1 : : : : :d3:f3: :a : :
3: : : : : 3: d: 1: 2:7 : : d: : 2: d:
: : d:4 : :d : :6d: c:a :b6: : : : 1:
69: : 7: :89: :c :8 :61: d:25: 3:7 :1b: 4:
b : :8 :55: :49: 1:2 :3 : :1 :e9:a8: 3: :
9 : : 1:f8:d3: :e : :d : :9 :b6: : :71:
1 : :c1: : b: 1: : 6:e : :64: : :1a:c :
: b: :bf:c : : 0: : 8:a :4 : :26:a :5 :
6 : : : :eb: :e5: a: :3e:f9:10:0 : : :
6:0 : : 8: : 1:72: c:0 : f:5 : f:9c: 0: e:
7:b : : : : :d9: 4: : e:c :68: : : :
c: :3a: : :a0:ea: 3: 4: :72:a :d : 8: :
:0d:5 :0 : a: 7:c :bb: 6: 4:a :ce:d :2 : 1:
: :17:6 : : c: b: : f: :3 : 5:6 :3 :0e:
: 7:c :3e: 2: 9: 7: 6: f: e: f: 9: :f3: 9:
a :c1:6 : : 1:9 : :43: : f: 5: :0 :27: 4:
4 :a : :e9: : 8: 4:3 :8a: 6:16:d5:c : e: e:
:d : c:b :a8: : 7: : 9: :7 :7d: : : :
: : :4 :2 : : 3: 3: 6: : : :7b:0 : :
e: :0 : :a : : 5: : : : 5:1 :82:c :0d:
4 :2 :fd:36: 5:50:0 : : :d : f: 6: : :e :
0 : : :ce: :9e:8 : :0 :d :07:b3: : : :
0 :e4: : :68:b :c : : c:5 : : :3 : 7: 2:
c:e0: :5 : : :b4: :ef: 7: :1 :e : 0:f :
:6 : : : :e0:c :3 : : : 3: : d: : :
3: 3: c: a: :b : a:71: 3: 0:a : :4 :5d: :
0 :4 """)
_, dpmask_msk, dpmask_val = msk(""" : 3:2a: : d: : : : :0 :1 : f: : : 6:
1 :2 :1b:07: a:e :b :c5:58:7 : :e8: 7: 1: c:
: 1:b :a0: 4:0f:5 :67: :3 :7 :6 :f9: : c:
:79: 0:1 :65: :8 : :99: d:d : :2 :9 :0 :
e: :0 : : : : d: :d :7 :6 :a9: a:8b: b:
: : 7: a:37: : :7 :1 :6 : :c2: 7:6 :b :
e: : : : : : :b :3a:5 : : : : : :
: : :cd:8 : : d: :7 : 3: : f:e : c: :
: a: :c : f:c : 7:b :5 : : :2 :8 :8 :6 :
0a: a: : :3 :db: : 4:00: : d: :b : 5: :
20: 2: 5: :82: : 0: 6: :8a: :7 : : 8: :
4: 1: : : : 8:46: : : : : : 0:f :c8:
2 : : c:7 : : 1: : :2 : 0: 5: : : 1:9b:
6:9 : 0:74: :c : :e : : :cb:b :3 :3 : :
2: : :47: :2 : 0:5 : : : d: 6:83: : :
:c7: : :0b: : : c: :3 :8 : :9 :4 : 7:
5 :c0:fe: :f9: 1: :0 : e: 8:02: : f: :c :
55:61""")
_, dqmask_msk, dqmask_val = msk(""" :0b:7 :4 :0 : 0:6 : 7:7e: : 5: : 7: : a:
a :d : 0: 6: 4:86: : :8 : : : : :e :8f:
9: : : : 1: :2 : : 7: b:1 :5 : f: :8 :
:d :21: :e : d: :c9:e : b: : :1 : : :
:d :a2:b7: : : :f3: :42: :e : c: :f :
: 0:f :7 : 4: 5:34: :4 : c: : :8 :d : 8:
5 :af: 3:1d: 5:4 : :2 : :6 :c : 6:a :1 :5 :
a:9 : :d : : :0a:a1: :f :7 :9 :b : : :
f:2 :27: f: :0 :f6:4d: : : : : :5 : :
4:08: : 5: : 8: 5: : : :18: 4: 8:57: 2:
f: a: : :a8: f: c:f : e: 1:9 :c : 4:9 : :
: : : : : 1: :2 : :d1: : 6:e : d: :
: f:04:2 :8d: : 3: : :b : 8: :d6: : 2:
: : :6 : : f: : : 0:6 : :51: :48:19:
: : :69:4 : c: :c : : f: :f4:d : : f:
d:0 :0d:b :3 : 3:2 : : :6 : b:5 :2 : : c:
1:5a: f:f : : :7e:3e: :d :f :0 : d: c: 6:
1""")
def search(K, Kp, Kq, check_level, break_step):
max_step = 0
cands = [0]
for step in range(1, break_step + 1):
#print " ", step, "( max =", max_step, ")"
max_step = max(step, max_step)
mod = 1 << (4 * step)
mask = mod - 1
cands_next = []
for p, new_digit in product(cands, p_ranges[-step]):
pval = (new_digit << ((step - 1) * 4)) | p
if check_level >= 1:
qval = solve_linear(pval, N & mask, mod)
if qval is None or not check_val(qval, mask, qmask_msk, qmask_val):
continue
if check_level >= 2:
val = solve_linear(E, 1 + K * (N - pval - qval + 1), mod)
if val is None or not check_val(val, mask, dmask_msk, dmask_val):
continue
if check_level >= 3:
val = solve_linear(E, 1 + Kp * (pval - 1), mod)
if val is None or not check_val(val, mask, dpmask_msk, dpmask_val):
continue
if check_level >= 4:
val = solve_linear(E, 1 + Kq * (qval - 1), mod)
if val is None or not check_val(val, mask, dqmask_msk, dqmask_val):
continue
if pval * qval == N:
print "Kq =", Kq
print "pwned"
print "p =", pval
print "q =", qval
p = pval
q = qval
d = invmod(E, (p - 1) * (q - 1))
coef = invmod(p, q)
from Crypto.PublicKey import RSA
print RSA.construct(map(long, (N, E, d, p, q, coef))).exportKey()
quit()
cands_next.append(pval)
if not cands_next:
return False
cands = cands_next
return True
def check_val(val, mask, mask_msk, mask_val):
test_mask = mask_msk & mask
test_val = mask_val & mask
return val & test_mask == test_val
# K = 4695
# Kp = 15700
# Kq = 5155
for K in range(1, E):
if K % 100 == 0:
print "checking", K
if search(K, 0, 0, check_level=2, break_step=20):
print "K =", K
break
for Kp in range(1, E):
if Kp % 1000 == 0:
print "checking", Kp
if search(K, Kp, 0, check_level=3, break_step=30):
print "Kp =", Kp
break
for Kq in range(1, E):
if Kq % 100 == 0:
print "checking", Kq
if search(K, Kp, Kq, check_level=4, break_step=9999):
print "Kq =", Kq
break
从缺失的私钥中，我们可以分析出各部分数据代表的数字。
struct
{
BIGNUM *n; // public modulus
BIGNUM *e; // public exponent
BIGNUM *d; // private exponent
BIGNUM *p; // secret prime factor
BIGNUM *q; // secret prime factor
BIGNUM *dmp1; // d mod (p-1)
BIGNUM *dmq1; // d mod (q-1)
BIGNUM *iqmp; // q^-1 mod p
// ...
};
改动原脚本中的各部分内容即可恢复出私钥，大致算法为：
given a candidate for (p mod 16**(t - 1)), generate all possible candidates for (p mod 16**t) (check against mask for prime1)
calculate q = n * invmod(p, 16**t) (and check against mask for prime2)
calculate d = invmod(e, 16**t) * (1 + k * (N - p - q + 1)) (and check against mask for private exponent)
calculate d_p = invmod(e, 16**t) * (1 + k_p * (p - 1)) (and check against mask for exponent1)
calculate d_q = invmod(e, 16**t) * (1 + k_q * (q - 1)) (and check against mask for exponent2)
if any of checks failed - check next candidate
**LSB Oracle Attack
适用情况：可以选择密文并泄露最低位。 **
在一次RSA加密中，明文为m，模数为n，加密指数为e，密文为c。我们可以构造出c'=((2^e)*c)%n=((2^e)*(m^e))%n=((2*m)^e)%n ， 因为m的两倍可能大于n，所以经过解密得到的明文是 m'=(2*m)%n 。我们还能够知道 m' 的最低位lsb 是1还是0。 因为n是奇数，而2*m 是偶数，所以如果lsb 是0，说明(2*m)%n 是偶数，没有超过n，即m<n/2.0 ，反之则m>n/2.0 。举个例子就能明白2%3=2 是偶数，而4%3=1 是奇数。以此类推，构造密文c"=(4^e)*c)%n 使其解密后为m"=(4*m)%n ，判断m" 的奇偶性可以知道m 和 n/4 的大小关系。所以我们就有了一个二分算法，可以在对数时间内将m的范围逼近到一个足够狭窄的空间。
更多信息可参考：RSA Least-Significant-Bit Oracle Attack 和 RSA least significant bit oracle attack 。
Python实现：
def oracle():
return lsb == 'odd'
def partial(c, e, n):
k = n.bit_length()
decimal.getcontext().prec = k # for 'precise enough' floats
lo = decimal.Decimal(0)
hi = decimal.Decimal(n)
for i in range(k):
if not oracle(c):
hi = (lo + hi) / 2
else:
lo = (lo + hi) / 2
c = (c * pow(2, e, n)) % n
# print i, int(hi - lo)
return int(hi)
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