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2018-10-08

2018-10-08

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-10-08 11:22 被阅读0次
  • 线性系统的LT分析法
    • 一、数学角度
      • 1、对微分方程进行LT分析
        • eg:\frac{d^2}{dt^2}r(t) + a_1\frac{d}{dt}r(t) + a_0r(t) = b_1\frac{d}{dt}e(t) +b_0e(t)
          • 同求LT变换
            • s^2 R(s) - s \cdot r(0^{-}) - r^{'}(0^{-}) + a_1\cdot [sR(s) - r(0^{-})] + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0E(s)
              • s^2R(s) + a_1sR(s) + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0E(s) + (s + a_1)\cdot r(0^{-}) + r^{'}(0^{-})
              • R(s) = \frac{b_1sE(s) + b_0E(s) + (s +a_1)\cdot r(0^{-}) + r^{'}(0^{-})}{ s^2 + a_1s + a_0}
              • L^{-}T得到r( t)
      • 2、对电路进行LT处理
        • 对于线性电路系统,可以不要列出其微(积）分方程。
          • 1）、对其中各个电路元件和信号源直接求LT
            • eg:对于电感
              • u_{L}(t) = L\frac{di_{L}(t)}{dt} \to U_L(s) = sL\cdot I_L(s) - Li_{L}(0^{-})
              • 所以,它可以LT域看成一个阻抗为sL的电阻与初始等效电压源。-Li_L(0^{-})串联.在时域可以看成一个零状态的电感和一个初始等效电压源-Li_L(0^{-})\delta (t)串联。
            • eg:对于电容
              • u_{C}(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau \to U_{C}(s) = \frac{I(s)}{sC} + \frac{u_c(0^{-})}{s}
              • 所以,它可以LT域看成一个阻抗为\frac{1}{sC}的电阻与初始等效电压源\frac{u_{C}(0^{-})}{s}串联。
              • 在时域可以看成一个零状态的电容和一个初始等效电压源u_c(0^{-})\varepsilon (t)串联。
            • 这里的阻抗sL, \frac{1}{sC}和以前的复阻抗j\omega L,\frac{1}{j\omega C}和算子阻抗pL,\frac{1}{pC}很相似，称为运算阻抗。
        • 2）、根据KCL,KVL方程列出方程组，求出响应的LT
        • 3）、通过L^{-1}T,得到r(t)
        • 这种方法自动引入初始条件，直接得到的全响应。
    • 二、从信号分解的角度看线性系统的LT分析
      • 分为r_{zs},r_{zi}
      • r_{zs}的求解
        • \frac{d^2}{dt^2}r(t) + a_1\frac{d}{dt}r(t) + a_0r(t) = b_1\frac{d}{dt}e(t) +b_0e(t)
          • s^2 R(s) + a_1sR(s) + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0 E(s)
            • R(s) = \frac{b_1s + b_0}{s^2 + a_1s + a_0}E(s) = H(s)E(s)
        • H(s) = \frac{R(s)}{E(s)},称为转移函数或系统函数,H(s),可以称为运算阻抗，运算导纳,运算电压传输函数,运算电流传输函数等。
        • 1）微分方程得到H(s)
          • 线性系统可以用线性常系数微分方程表示
            • \sum_{i = 0}^{n}a_i\frac{d^i}{dt^i}r(t) = \sum_{i = 0}^{m}b_i\frac{d^i}{dt^i}e(t)
              • \sum_{i = 0}^{n}a_is^iR(s) = \sum_{i = 0}^{m}b_is^iE(s)
              • H(s) = \frac{R(s)}{E(s)} = \frac{\sum_{i = 0}^m b_is^i}{\sum_{i = 0}^{n}a_is^i}
        • 2)从信号分解的角度得到H(s)
          • 与F.T中H(j\omega)一样,H(s)也可以看成反应系统对复频域中的某个信号e^{st}的幅度和相位影响的函数。
            • 对于电感，激励信号e^{st}
            • 电压：u_{L}(t) = L\frac{d}{dt}i_L(t) = L\frac{d}{dt}(e^{st}) = sLe^{st}
            • \frac{u_L(t)}{i_{L}(t)} = sL
        • 3)、从系统的冲激响应求H(s)
          • r(t) = e(t)*h(t)
          • R(s) = E(s)H(s)
          • H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}
          • 通过系统的冲激响应h(t)的LT得到H(s)
            -r_{zi}的求解
        • 利用等效源法转化为r_{zs}
        • 多激励响应,每个激励都有H_i(s)
        • 同一个电路的不同系数函数H_i(s)有相同的分母多项式D(s)
        • 等效激励源可以转化为冲激函数,其LT变换没有极点,所以响应R(s) = E(s)H(s)中的极点取决于D(s)
        • D(s) = 0的根决定了响应中的各个信号分量的形式,其根为特征根或者自然频率
    • 三、响应之间的关系
      • 1、系统的零状态响应R(s) = H(s)E(s)的极点是H(s)带来的,对应于系统的自然响应,也有E(s)带来的，对应系统的受迫响应。
      • 如果极点处于S平面虚轴以左,信号e^{st}随着时间的推移而趋向于零,属于暂态响应;
      • 如果极点处于S平面虚轴上,信号e^{st}不随着时间的推移变化,属于稳态响应;
      • 如果极点处于S平面虚轴以右,信号e^{st}随着时间的推移而增大;
        • 如果极点是H(s)带来的，则系统不稳定
  • 双边拉普拉斯变换
    • 定义
      • F(s) = L_d\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt
      • f(t) = L^{-1}_{d}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j }\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{st}ds
    • 计算
      • 右边eg:f(t) = e^{s_0 t}\varepsilon (t)
        • \mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon (t)\} = \frac{1}{s - s_0}
        • 收敛区：Re(s) > Re(s_0)
      • 左边：eg:f(t) = e^{s_0 t}\varepsilon (-t)
        • \mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon (-t)\} = -\frac{1}{s - s_0}
        • 收敛区：Re(s) < Re(s_0)
      • 从上面的例题可以看出:
        • \mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon(t)\} = \frac{1}{s - s_0},\text {收敛区：}Re(s) > Re(s_0)
        • \mathscr{L}\{-e^{s_0 t}\varepsilon(-t)\} = \frac{1}{s - s_0},\text{收敛区：}Re(s) < Re(s_0)
        • 计算单边拉普拉斯变换是不用考虑收敛区
        • 对于某左边信号f_b(t),其LT为：
          • F_b(s) = \int_{-\infty}^{0}f_b(-t)e^{-s(-t)}d(-t)
            • \int_{0}^{+\infty}f_b(-t)e^{st}dt
          • 左边信号f_b(t)的LT可以看成是右边信号f_b(-t)的LT结果中当S用-S带入时的结果.
          • a、将左边信号f_b(t)反摺后形成的右边信号f_b(-t)
          • b、求右边信号的单边LT极其收敛区F_{-b}(p) = \mathscr{L}\{f_b(-t)\},Re(p) > \sigma_p
          • c、p = -s带入,得到F_b(s)及收敛区
            • F_b(s) = F_{-b}(p)|_{p = -s},Re(s) < -\sigma_p = \sigma_b
        • 收敛区左边的极点是信号的右边部分带来
        • 收敛区右边的极点是信号的左边部分带来
    • 三、双边L^{-1}T
      • 部分分式展开法(Haviside展开法)
        • F(s)表示为有理函数的形式
          • F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_ms^m +b_{m -1}s^{m -1} +...+b_1s +b_0}{a_ns^n +a_{n -1}s^{n-1} +...+a_1s + a_0}
            • 1)通过部分分式展开,将其表示为多个简单的有理分式的和
              • F(s) = \sum_{i = 1}^n\frac{k_i}{s - s_i}
            • 2)根据极点在收敛区左右分布的情况
              • F(s) = \sum_{i = 1}^r\frac{K_i}{s - s_i} +\sum_{i = r + 1}^n\frac{K_i}{s - s_i} = F_a(s) +F_b(s)
              • F_a(s)只含有收敛区左边的极点,一定属于右边信号的LT
              • F_b(s)只含有收敛区右边的极点,一定属于左边信号的LT
            • 3)对F_a(s)和F_b(s)分别求L^{-1}T
              • F_a(s),\mathscr{L} \{\frac{1}{s - \alpha}\} = e^{\alpha t}\varepsilon (t)
              • F_b(s),\mathscr{L} \{\frac{1}{s - \alpha}\} = -e^{\alpha t}\varepsilon (-t)
      • 留数法
        • 留数法本身已经将双边LT考虑在内,Re(st) < \sigma_0 t就可以决定左边或者右边信号的算法
        • t >0,\lim_{R\to \infty}\int_{ABC}F(s)e^{st}ds = 0
        • t <0,\lim_{R\to \infty}\int_{AB^{'}C}F(s)e^{st}ds = 0
          • 对于信号右边部分,应该采用ABC,这是只要考虑收敛区间左边的极点
          • 对于信号左边部分,应该采用AB^{'}C,这是只要考虑收敛区间右边的极点
          • 维线方向为顺时针,结果为极点留数的负数
    • 线性系统对双边信号的响应,应该有双边LT
      • 求激励信号的e(t)的LT--E(s)收敛区
      • 求系统的系统函数H(s)收敛区
        • H(s)是h(t)的LT,对于因果系统而言,h(t)一定是右边信号,其收敛区一定是右半平面。
        • 在E(s),H(s)都存在的条件下,其响应的LT一定存在,一定可以用LT求解。
    • 线性系统模拟
      • 系统的四种数学表示
        • 1、微分方程
        • 2、系统函数
        • 3、框图或者流图
        • 4、状态方程

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