2018-10-08

2018-10-08

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-10-08 11:22 被阅读0次

线性系统的LT分析法
- 一、数学角度
  - 1、对微分方程进行LT分析
    - eg:
      - 同求LT变换
        
        $s^2 R(s) - s \cdot r(0^{-}) - r^{'}(0^{-}) + a_1\cdot [sR(s) - r(0^{-})] + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0E(s)$
        
        $s^2R(s) + a_1sR(s) + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0E(s) + (s + a_1)\cdot r(0^{-}) + r^{'}(0^{-})$
        
        $R(s) = \frac{b_1sE(s) + b_0E(s) + (s +a_1)\cdot r(0^{-}) + r^{'}(0^{-})}{ s^2 + a_1s + a_0}$
        
        $L^{-}T$ 得到 $r( t)$
  - 2、对电路进行LT处理
    - 对于线性电路系统,可以不要列出其微(积）分方程。
      - 1）、对其中各个电路元件和信号源直接求LT
        
        eg:对于电感
        
        $u_{L}(t) = L\frac{di_{L}(t)}{dt} \to U_L(s) = sL\cdot I_L(s) - Li_{L}(0^{-})$
        
        所以,它可以LT域看成一个阻抗为 $sL$ 的电阻与初始等效电压源。 $-Li_L(0^{-})$ 串联.在时域可以看成一个零状态的电感和一个初始等效电压源 $-Li_L(0^{-})\delta (t)$ 串联。
        
        eg:对于电容
        
        $u_{C}(t) = \frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau \to U_{C}(s) = \frac{I(s)}{sC} + \frac{u_c(0^{-})}{s}$
        
        所以,它可以 $LT$ 域看成一个阻抗为 $\frac{1}{sC}$ 的电阻与初始等效电压源 $\frac{u_{C}(0^{-})}{s}$ 串联。
        
        在时域可以看成一个零状态的电容和一个初始等效电压源 $u_c(0^{-})\varepsilon (t)$ 串联。
        
        这里的阻抗 $sL, \frac{1}{sC}$ 和以前的复阻抗 $j\omega L,\frac{1}{j\omega C}$ 和算子阻抗 $pL,\frac{1}{pC}$ 很相似，称为运算阻抗。
    - 2）、根据 $KCL,KVL$ 方程列出方程组，求出响应的LT
    - 3）、通过 $L^{-1}T$ ,得到 $r(t)$
    - 这种方法自动引入初始条件，直接得到的全响应。
- 二、从信号分解的角度看线性系统的LT分析
  - 分为 $r_{zs},r_{zi}$
  - 的求解
    - - $s^2 R(s) + a_1sR(s) + a_0R(s) = b_1sE(s) + b_0 E(s)$
        
        $R(s) = \frac{b_1s + b_0}{s^2 + a_1s + a_0}E(s) = H(s)E(s)$
    - $H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}$ ,称为转移函数或系统函数, $H(s)$ ,可以称为运算阻抗，运算导纳,运算电压传输函数,运算电流传输函数等。
    - 1）微分方程得到
      - 线性系统可以用线性常系数微分方程表示
        
        $\sum_{i = 0}^{n}a_i\frac{d^i}{dt^i}r(t) = \sum_{i = 0}^{m}b_i\frac{d^i}{dt^i}e(t)$
        
        $\sum_{i = 0}^{n}a_is^iR(s) = \sum_{i = 0}^{m}b_is^iE(s)$
        
        $H(s) = \frac{R(s)}{E(s)} = \frac{\sum_{i = 0}^m b_is^i}{\sum_{i = 0}^{n}a_is^i}$
    - 2)从信号分解的角度得到
      - 与F.T中 $H(j\omega)$ 一样, $H(s)$ 也可以看成反应系统对复频域中的某个信号 $e^{st}$ 的幅度和相位影响的函数。
        
        对于电感，激励信号 $e^{st}$
        
        电压： $u_{L}(t) = L\frac{d}{dt}i_L(t) = L\frac{d}{dt}(e^{st}) = sLe^{st}$
        
        $\frac{u_L(t)}{i_{L}(t)} = sL$
    - 3)、从系统的冲激响应求
      - $r(t) = e(t)*h(t)$
      - $R(s) = E(s)H(s)$
      - $H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}$
      - 通过系统的冲激响应 $h(t)$ 的LT得到 $H(s)$
        - $r_{zi}$ 的求解
    - 利用等效源法转化为 $r_{zs}$
    - 多激励响应,每个激励都有 $H_i(s)$
    - 同一个电路的不同系数函数 $H_i(s)$ 有相同的分母多项式 $D(s)$
    - 等效激励源可以转化为冲激函数,其LT变换没有极点,所以响应 $R(s) = E(s)H(s)$ 中的极点取决于 $D(s)$
    - $D(s) = 0$ 的根决定了响应中的各个信号分量的形式,其根为特征根或者自然频率
- 三、响应之间的关系
  - 1、系统的零状态响应 $R(s) = H(s)E(s)$ 的极点是 $H(s)$ 带来的,对应于系统的自然响应,也有 $E(s)$ 带来的，对应系统的受迫响应。
  - 如果极点处于S平面虚轴以左,信号 $e^{st}$ 随着时间的推移而趋向于零,属于暂态响应;
  - 如果极点处于S平面虚轴上,信号 $e^{st}$ 不随着时间的推移变化,属于稳态响应;
  - 如果极点处于S平面虚轴以右,信号随着时间的推移而增大;
    - 如果极点是 $H(s)$ 带来的，则系统不稳定
双边拉普拉斯变换
- 定义
  - $F(s) = L_d\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$
  - $f(t) = L^{-1}_{d}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j }\int_{\sigma - j\omega}^{\sigma + j\omega}F(s)e^{st}ds$
- 计算
  - 右边eg:
    - $\mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon (t)\} = \frac{1}{s - s_0}$
    - 收敛区： $Re(s) > Re(s_0)$
  - 左边：eg:
    - $\mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon (-t)\} = -\frac{1}{s - s_0}$
    - 收敛区： $Re(s) < Re(s_0)$
  - 从上面的例题可以看出:
    - $\mathscr{L}\{e^{s_0 t}\varepsilon(t)\} = \frac{1}{s - s_0},\text {收敛区：}Re(s) > Re(s_0)$
    - $\mathscr{L}\{-e^{s_0 t}\varepsilon(-t)\} = \frac{1}{s - s_0},\text{收敛区：}Re(s) < Re(s_0)$
    - 计算单边拉普拉斯变换是不用考虑收敛区
    - 对于某左边信号,其LT为：
      - $F_b(s) = \int_{-\infty}^{0}f_b(-t)e^{-s(-t)}d(-t)$
        
        $\int_{0}^{+\infty}f_b(-t)e^{st}dt$
      - 左边信号 $f_b(t)$ 的LT可以看成是右边信号 $f_b(-t)$ 的LT结果中当S用-S带入时的结果.
      - a、将左边信号 $f_b(t)$ 反摺后形成的右边信号 $f_b(-t)$
      - b、求右边信号的单边LT极其收敛区 $F_{-b}(p) = \mathscr{L}\{f_b(-t)\},Re(p) > \sigma_p$
      - c、 $p = -s$ 带入,得到 $F_b(s)$ 及收敛区
        
        $F_b(s) = F_{-b}(p)|_{p = -s},Re(s) < -\sigma_p = \sigma_b$
    - 收敛区左边的极点是信号的右边部分带来
    - 收敛区右边的极点是信号的左边部分带来
- 三、双边
  - 部分分式展开法(展开法)
    - 表示为有理函数的形式
      - $F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_ms^m +b_{m -1}s^{m -1} +...+b_1s +b_0}{a_ns^n +a_{n -1}s^{n-1} +...+a_1s + a_0}$
        
        1)通过部分分式展开,将其表示为多个简单的有理分式的和
        
        $F(s) = \sum_{i = 1}^n\frac{k_i}{s - s_i}$
        
        2)根据极点在收敛区左右分布的情况
        
        $F(s) = \sum_{i = 1}^r\frac{K_i}{s - s_i} +\sum_{i = r + 1}^n\frac{K_i}{s - s_i} = F_a(s) +F_b(s)$
        
        $F_a(s)$ 只含有收敛区左边的极点,一定属于右边信号的LT
        
        $F_b(s)$ 只含有收敛区右边的极点,一定属于左边信号的LT
        
        3)对 $F_a(s)$ 和 $F_b(s)$ 分别求 $L^{-1}T$
        
        $F_a(s),\mathscr{L} \{\frac{1}{s - \alpha}\} = e^{\alpha t}\varepsilon (t)$
        
        $F_b(s),\mathscr{L} \{\frac{1}{s - \alpha}\} = -e^{\alpha t}\varepsilon (-t)$
  - 留数法
    - 留数法本身已经将双边LT考虑在内, $Re(st) < \sigma_0 t$ 就可以决定左边或者右边信号的算法
    - $t >0,\lim_{R\to \infty}\int_{ABC}F(s)e^{st}ds = 0$
    - - 对于信号右边部分,应该采用ABC,这是只要考虑收敛区间左边的极点
      - 对于信号左边部分,应该采用AB^{'}C,这是只要考虑收敛区间右边的极点
      - 维线方向为顺时针,结果为极点留数的负数
- 线性系统对双边信号的响应,应该有双边
  - 求激励信号的 $e(t)$ 的LT-- $E(s)$ 收敛区
  - 求系统的系统函数收敛区
    - $H(s)$ 是 $h(t)$ 的LT,对于因果系统而言, $h(t)$ 一定是右边信号,其收敛区一定是右半平面。
    - 在 $E(s),H(s)$ 都存在的条件下,其响应的LT一定存在,一定可以用LT求解。
- 线性系统模拟
  - 系统的四种数学表示
    - 1、微分方程
    - 2、系统函数
    - 3、框图或者流图
    - 4、状态方程

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