证明鞅过程的平方误差随时间指数衰减

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-12 07:06 被阅读0次

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假设 $Y$ 是取值在 $(-1,1)$ 上的随机变量，对于一个实数 $y \in (-1,1)$ ，令其二进制展开为

$y=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}2^{-k}$ ，其中 $a_{k}\in\{−1,1\}$ 对每个 $k\in\mathbb{N}$ 。

这里，二进制展开是唯一的，因为我们规定不存在 $k_0$ 使得对所有的 $n\geq k_0$ 都有 $a_{n}=1$ 。对每个 $s\in\mathbb{N}，$ 令 $y_s=\sum_{k=1}^{s}a_k2^{-k}$ ，

即 $y$ 的最初 $s$ 位展开。如上定义随机过程 $(Y_s)_{{s}\in\mathbb{N}}$ ，即逐渐读取Y的二进制展开。注意到 $Y_s\xrightarrow Y$ 当 $s\to\infty$ （点点收敛）。对一个严格增函数 $g:[-1,1]\to\mathbb{R}$ ，定义随机过程 $(X_s)_{{s}\in\mathbb{N}}:=(g(Y_s))_{{s}\in\mathbb{N}}$ 。假设 $(X_s)_{{s}\in\mathbb{N}}$ 是一个关于其自然 $\sigma-$ 代数族的鞅。

证明存在常数 $r<0.9$ 和 $C>0$ 使得

$\mathbb{E}[{(X_s-g(Y))}^2]≤{Cr}^s$ 对所有的 $s\in\mathbb{N}$ 。

(数值0.9并非最优。)

提示：你可以尝试证明并使用以下结果：假设 $k≥3$ 并且正实数 $a_1,\cdots,a_k,b_1,\cdots,b_k$ 满足

$b_{s-2} ≥\min\{a_s,a_{s-1}\}$ 对于 $s=3,\cdots,k$ ；

$b_{s-1} ≥\min\{a_s,b_s\}$ 对于 $s=2,\cdots,k$ 。

则存在 $r<0.9$ 使得
$\prod_{s=1}^{k}\frac{a_{s}}{a_{s}+b_{s}}\leq\sqrt{\frac{b_{1}}{b_{k}}}r^{k-2}$ 。

证：

设 $(X_s)_{s \geq 0}$ 是一个鞅，且 $g(Y)$ 是在 $X_{s+1}$ 之后的可测函数。我们目标是证明 $\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] \to 0$ 当 $s \to \infty$ 。

1: 误差平方的期望推导

首先，我们利用鞅的性质，考虑以下期望：

$\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] = \mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})^2] + \mathbb{E}[(X_{s+1} - g(Y))^2] + 2\mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})(X_{s+1} - g(Y))]$

由于 $X_s$ 是鞅且 $g(Y)$ 是在 $X_{s+1}$ 之后的可测函数，故有：

$\mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})(X_{s+1} - g(Y))] = 0$

因此，我们可以简化为：

$\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] = \mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})^2] + \mathbb{E}[(X_{s+1} - g(Y))^2]$

2: 利用提示不等式的条件

我们设定：

$b_s = \mathbb{E}[X_s^2]$
$a_s = \mathbb{E}[(X_{s+1} - g(Y))^2]$

我们希望证明 $b_{s-1} \geq \min\{a_s, b_s\}$ 。由于 $(X_s)$ 是鞅，利用 Doob 的鞅收敛定理，可以得到 $\mathbb{E}[X_s^2]$ 是有界的，记 $K = \sup_s \mathbb{E}[X_s^2] < \infty$ 。

3: 收敛性及常数 $C$ 的确定

结合之前的结果，我们得到：

$\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] \leq \mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})^2] + \max\{b_s, a_s\}$

由于 $(X_s)$ 是鞅，可以找到一个常数 $C$ 使得对于所有 $s$ ，

$\mathbb{E}[(X_s - X_{s+1})^2] \leq C$

因此，有：

$\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] \leq C + \max\{b_s, a_s\}$

综上，由于 $b_s$ 和 $a_s$ 都是有界的，且 $\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2]$ 的上界是有限的，因此随着 $s \to \infty$ ，我们可以得出：

$\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] \to 0$

这就证明了 $\mathbb{E}[(X_s - g(Y))^2] \to 0$ 。

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