LintCode：1807 · 斐波纳契数列

问题描述

查找斐波纳契数列中第 N 个数。

所谓的斐波纳契数列是指：

• 前2个数是 0 和 1 。
• 第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和。
• 斐波纳契数列的前10个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
• N <= 20

样例

样例 1:
输入: 1
输出: 0
样例解释:返回斐波那契的第一个数字，是0.

样例 2:
输入: 2
输出: 1
样例解释: 返回斐波那契的第二个数字是1.

解题思路

根据题目描述，我们可以获得数列的通项公式：a_n=a_n-1+a_n-2;
简单的用递归/递推就能完成（在n非常大的情况下，递归会出现超时）。

代码示例（JAVA）

1. 递归

public class Solution {
    /**
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
    public int fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) {
            return n == 1 ? 0 : 1;
        }
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }
}

时间复杂度：O(2^n) 空间复杂度：O(n)
解释：
在求解fib(10)的时候，会找到fib(9)和fib(8)共两个，然后下一层会是fib(8)和fib(7)，fib(7)和fib(6)共四个；这是一条底数为2呈指数增长的曲线。

2. 递推

public class Solution {
    /**
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
    public int fibonacci(int n) {
        // write your code here
        int[] fib= new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i <= 1) {
                fib[i] = i == 0 ? 0 : 1;
            }
            else {
                fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
            }
        }
        
        return fib[n - 1];
    }
}

时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(n)
解释：
这里理解起来比较简单，不再赘述。对比递归算法，相当于加了一个缓存。
但是，空间复杂度可以再优化：可以从数列的通项公式看出，计算每个数时，只和前两个数有关，更前面的数已经不再使用了；因此，我们可以只使用长度为2的数组。

优化后代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
    public int fibonacci(int n) {
        // write your code here
        int[] fib= {0, 1};
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            fib[i % 2] = fib[0] + fib[1];
        }
        
        return fib[(n + 1) % 2];
    }
}