梯度下降和牛顿法的推导均与泰勒公式有关，所以先介绍泰勒展开公式：
基本形式：
上面这个迭代形式将应用到下面的梯度下降和牛顿法中。
一、梯度下降
梯度下降法应用一阶泰勒展开，假设L(θ)代表损失函数，目标：最小化损失函数，θ是需要更新的模型参数。下面公式中alpha是步长(学习率)，可以直接赋值一个小的数，也可以通过line search。
二、牛顿法
牛顿法应用二阶泰勒展开，目标：最小化损失函数
g定义为雅克比矩阵，矩阵中各元素对应一阶偏导数
Hessian矩阵中各元素对应二阶偏导数。Hessian矩阵的逆同比于梯度下降法的学习率参数alpha，Hessian的逆在迭代中不断减小，起到逐渐缩小步长的效果。
优缺点对比：
1.梯度下降法：通过梯度方向和步长，直接求解目标函数最小值时的参数。
越接近最优值时，步长应该不断减小，否则会在最优值附近来回震荡。
2.牛顿法：
优点：通过求解目标函数的一阶导数为0时的参数，进而求出目标函数最小值时的参数。收敛速度很快。海森矩阵的逆在迭代过程中不断减小，可以起到逐步减小步长的效果。
缺点：海森矩阵的逆计算复杂，代价比较大，因此有了拟牛顿法。
红色：牛顿法迭代路径，绿色：梯度下降法迭代路径
牛顿法：二阶收敛，梯度下降：一阶收敛，所以牛顿法更快。
比如想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。（牛顿法目光更长远，所以少走弯路；梯度下降法只考虑局部最优，没有全局思想。）
从几何说，牛顿法是用一个二次曲面拟合你当前所处位置的局部曲面，梯度下降法是用一个平面去拟合当前局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。
拟牛顿法
解决牛顿法计算比较复杂的问题，使用正定矩阵近似Hessian矩阵的逆，简化了运算的复杂度。
常用的拟牛顿算法：DFP算法和BFGS算法
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