第二章习题

作者: 熊文鑫 | 来源:发表于2019-10-23 14:34 被阅读0次

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title: 第二章习题
category: 习题
date: 2019/08/13
mathjax: true

1.证明：如果 $(v_1,···,v_n)$ 张成 V, 那么由每个向量（最后一个向量除外）减去其后一个向量所得到的组 $(v_1-v_2,v_2-v_3,···,v_{n-1}-v_n,v_n)$ 也张成 V。

参考答案：
由于 $(v_1,···,v_n)$ 张成 V，设 $v\in V$ 。要证明 $v\in span(v_1-v_2,v_2-v_3,···,v_{n-1}-v_n,v_n)$ ，则应有 $a_1,···,a_n\in F$ 使得
$v=a_1(v_1-v_2)+a_2(v_2-v_3)+···+a_{n-1}(v_{n-1}-v_n)+a_nv_n$

转换上面等式得：
$v=a_1v_1+(a_2-a_1)v_2+(a_3-a_2)v_3+···+(a_n-a_{n-1})v_n$

因为 $(v_1,···,v_n)$ 张成 V，则有
$v=b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3+···+b_nv_n,b_1,...,b_n\in F$

只需要b1=a1,b2=a2-a1,...就能让等式成立。

理解：不能把v1,v2当成两个属性看待。这应该是是两个单独的对象。
很简单的道理设v1是张三喜欢的电影，v2是李四喜欢的电影。
则空间是这些电影的所有组合。无论通过何种运算，只要这些电影在这，那么这些组合是不会改变的。

2.证明：如果 $(v_1,···,v_n)$ 在V 中是线性无关的,那么由每个向量(最后一个向量除外)减去其后一个向量所得到的组 $(v_1-v_2,v_2-v_3,···,v_{n-1}-v_n,v_n)$ 也是线性无关的。

答：
要证明线性无关则应有使得
$0=a_1(v_1-v_2)+a_2(v_2-v_3)+···+a_{n-1}(v_{n-1}-v_n)+a_nv_n$
转换上面等式得：
0=a_1v_1+(a_2-a_1)v_2+(a_3-a_2)v_3+···+(a_n-a_{n-1})v_n$
则需要0=a1=a2,...才能让等式成立。则证明是线性无关。

3.设 $(v_1,···,v_n)$ 在 V 中是线性无关的，并且 $w\in V$ . 证明：
若 $(v_1+w_,···,v_n+w)$ 是线性相关的，则 $w\in span(v_1,···,v_n)$ ．

答：
若 $(v_1+w_,···,v_n+w)$ 是线性相关的，
则有: $a_1,a_n\in F,且a_j\not=0$ 使得 $0=a_1(v_1+w)+···+a_n(v_n+w)$
又因为 $(v_1,···,v_n)$ 在 V 中是线性无关的，
则有： $a_1v_1+···+a_nv_n=-(a_1+···+a_n)w\not =0$
则 $w=(\frac{-a_1}{(a_1+···+a_n)}v_1+···+\frac{-a_1}{(a_1+···+a_n)}v_n)$

则 $w\in span(v_1,···,v_n)$

4.设 m 是正整数由 $0$ 和系数在 F 中次数等于 m 的所有多项式所组成的集合是 P(F) 的子空间吗？

答：思考这个问题很久了，对参考答案一直不解其意。再看题目就忽然明白了。
这里有个定义：次数等于m的多项式，系数不为0的最高次必须为m,不能大也不能小，所以。就有反例p1=1+x,p2=1-x p1,p2都是1次的，和却为0次。
次数最高为m和有限维的定义还是不同的。虽然有联系，但是关于系数为0的项的性质定义不一致。
如果要和有限维一致，应该定义这个集合为次数不超过m的所有多项式集合。

5.证明 $F^\infty$ 是无限维的。
答：若 $F^\infty$ 是有限维的,则其线性无关向量组的元素个数也应该是无限个。
设 $e_m=(0,···,0,1,0,···).$ 是第m维系数为1，其余维度为0的向量，那么 $(e_1,···，e_m)$ 组成的向量组在 $F^\infty$ 空间中是线性无关的。由于 $(e_1,···，e_m)$ 的维度是无限的，那么 $F^\infty$ 便是无限维的。

6.证明由[0,1]区间上所有连续的实值函数所组成的实向量空间是无限维的.
答：设实值函数为f(X), $X=span(x^1,x^2,···,x^n),x^1,x^2,···,x^n\in [0,1]$
上题证明 $F^\infty$ 是无限维的，可以证明X也是无限维的，作用于X的实值函数也是无限维的。

7.证明： V 是无限维的当且仅当 V 中有一个向量序列 v1, v2 , ... , 使得对每个正整数 n, $(v_1,···,v_n)$ 都是线性无关的。
答：如果对于一个整数n, $(v_1,···,v_n)$ 都是线性有关，则V的维度小于n.
如果对于一个整数n, $(v_1,···,v_n)$ 都是线性无关，则V的维度大于n,则V是无限维的。

8.令 U 是 $R^5$ 的由 $U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in R^5:x_1=3x_2 且 x_3=7x_4\}$ 定义的子空间,求 U 的一个基。

答： $U=\{(3x_2,x_2,7x_4,x_4,x_5):x_2,x_4,x_5\in R\}$
则U的一个基为((3,1,0,0,0),(0,0,7,1,0),(0,0,0,0,1))

9.证明或反驳： $p_3(F)$ 有一个基 $(p_o, p_1 ,p_2, p_3)$ 使得多项式 $p_o, p_1 ,p_2, p_3$ 的次数都不等于 2.

证明：这里还是定义次数的问题。多项式的次数为最高次，次数都不等于2并不意味着多项式中没有二次项。
举个简单的例子即可 $p_0=1,p_1=x,p_2=x^2 + x^3,p_3=x^3$ .
1.只要线性无关2.所有的线性组合能张成完整的三次多项式空间。

三次多项式空间和三次多项式不一样。

如果0 $(p_o, p_1 ,p_2, p_3)$ 是 $p_3(F)$ 的基且多项式 $p_o, p_1 ,p_2, p_3$ 的次数都不等于 2.
则对于任意的a， $p=a_0p^0+a_1p^1+a_2p^2+a_3p^3$ 的线性组合中没有二次项，
则 $p^3\not\in span(p_o, p_1 ,p_2, p_3)$ .则可知 $p_3(F)$ 没有这样的基。

10.设 V 是有限维的, dimV = n . 证明在 V 中存在一维子空间 $U_1,···，U_n$ 使得 :
$V=U_1\oplus···\oplus U_n.$

证明：设 $U_m=\{(0,···,0,x,0,···,0):x\in F\}$ , $m\in N+,m<=n$
则对于任意 $j\in N+,j<=n,j\not=m$ , $U_m\cap U_j=\{0\}$
则 $V=U_1\oplus···\oplus U_n.$

参考答案：
设 $(v_1,···，v_n)$ 是向量空间V的一组基。对于任意j, $U_j$ 是 $span(v_j)$ 张成的空间。
即 $U_j=\{av_j:a\in F\}$ .因为 $(v_1,···，v_n)$ 是V的基，V中的所有向量可以写成：
$a_1v_1+···+a_nv_n,a,...,a_n\in F$
基于直和的定义。 $V=U_1\oplus···\oplus U_n.$

直和定义： $U_1,···，U_m$ 是V的子空间使得V= $U_1+···+U_m$ ,V种的每个元素都可以唯一地写成 $u_1+···+u_m$ 的形式。则称V是子空间 $U_1,···，U_m$ 的直和，记为: $V=U_1\oplus···\oplus U_m$

11.设 V 是有限维的， U 是 V 的子空间使得 dimU = dim V. 证明 U=V.
证明；设U的一个基 $(u_1,...,u_n)$ 的长度为n
因为U是V的子空间，则U的基向量 $(u_1,...,u_n)$ 属于V。由于长度为dimV 的线性无关向量组是V的基向量，所以 $V=span(u_1,...,u_n=U$

12.设 $p_0,p_1,...,p_m$ 是 $p_m(F)$ 中多项式使得对任意 j 都有 $p_j(2)=0$ .证明 $(p_0,p_1,...,p_m)$ 在 $p_m(F)$ 中不是线性无关的。
证明： $p_j(2)=0$ 表明，对于所有的多项式，带入2，得出的结果都是0.那么常数项例如1，就应始终不出现在多项式中。对于所有的 $p_0,p_1,...,p_m$ 都没有常数项。而 $(p_0,p_1,...,p_m)$ 长度等于m+1,因为缺少常数项，不能张成 $p_m(F)$ 空间，即不是 $p_m(F)$ 的基。那么 $(p_0,p_1,...,p_m)$ 在 $p_m(F)$ 中不是线性无关的。

13.设 U 和 W都是 $R^8$ 的子空间,使得dim U = 3, dim W = 5, 并且 $U + W =R^8.$ 证明 $U\cap W=\{0\}$ .
证明：设 $(u_1,u_2,u_3)$ 是U的基， $(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$ 是W的一个基
如果 $U + W =R^8$ ,则应有 $(u_1,u_2,u_3,w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$ 是一组线性无关向量,且能张成 $R^8$ ,则可知 $U\cap W=\{0\}$ .

参考答案：
根据命题可知 $dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$ .
则 $dim(U\cap W)=dimU+dimW-dim(U+W)=0$
所以 $U\cap W=\{0\}$ .

14.设 U 和 W 都是 $R^9$ 的5 维子空间．证明 $U\cap W\not=\{0\}$ .

根据命题可知 $dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$ .
则 $dim(U\cap W)=dimU+dimW-dim(U+W)=1$
所以 $U\cap W\not =\{0\}$ .

15.通过与有限集合中三个子集之并的元素个数公式相类比,你可能会猜到,如果 $U_1,U_2,U_3$ 是有限维向量空间的子空间，那么
$dim(U_1+U_2+U_3)=dim U_1+dim U_2+ dim U_3$
$-dim(U_1\cap U_2)-dim(U_1\cap U_3)-dim(U_2\cap U_3)$
$+dim(U_1\cap U_2 \cap U_3)$
证明或举反例。

反例：一般我们想到的都是元素个数和维度都是相同的情况。
如果一个不正常的子空间，如 $U_2=\{(x,x):x\in R\}$

$U_1={(x,0):x\in R}$
$dim(U_1+U_2)$ =2, $dimU+dimW-dim(U\cap W)=1+1-0=2$

二维的相交维数符合命题。
参考答案：
但是如果是 $V=R^2$
$U_1={(x,0):x\in R}$
$U_2=\{(0,y):y\in R\}$
$U_3=\{(x,x):x\in R\}$

其中 $dim(U_1+U_2+U_3)=2$
$dimU_1=dimU_2=dimU_3=1$
$dim(U_1\cap U_2)=dim(U_2\cap U_3)=dim(U_1\cap U_3)=dim(U_1\cap U_2\cap U_3)=0$
因为2不等于3，所以上述的等式是不成立的。

16.证明：若 V 是有限维向量空间，并且 $U_1,...,U_m$ 都是V 的子空间，则
$dim(U_1+...+U_m)\le dimU_1+...+dimU_m$

设 $V_2=U_1+...+U_m$
如果 $V_2=U_1\oplus...\oplus U_m$
则有 $dim(U_1+...+U_n)= dimU_1+...+dimU_m$
如果 $dim(U_i\cap U_j)\not = 0$ ,则 $dim(U_1+...+U_n)< dimU_1+...+dimU_m$

所以 $dim(U_1+...+U_m)\le dimU_1+...+dimU_m$

17.设 V 是有限维的，证明：如果 $U_1,...,U_m$ 是 V 的子空间，使得 $V=U_1\oplus...\oplus U_m$ ，那么 $dim(U_1+...+U_n)= dimU_1+...+dimU_m$
证明：设 $U_j$ 的基为 $u_j$ ,则 $U_1+...+U_n$ 的基便是 $u_1+...+u_n$ 。因为是直和，各个基向量组之间线性无关，所以 $dim(U_1+...+U_n)= dimU_1+...+dimU_m$

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