4-flux model

之前在《Multiple Scattering Calculations for Technology》中看到了部分讲四通道模型的内容，其中涉及到多个参数，而这些参数之间的关系仍然是有些模糊不清。

另外，在一个 PPT 文件中也看到了对四通道模型的描述，但其中的多项式系数的值是如何得到的也不甚清楚。

最近，又看到一篇论文，《Four-flux models to solve the scattering transfer equation in terms of Lorenz-Mie parameters》，其中对于四通道模型的描述则可以将之前的理解贯穿起来。

一、涉及到的系数

上图中，(I) 代表入射光位置，(O) 代表透射光位置，(S) 代表介质后的背景表面，介质厚度为 Z。介质中粒子直径为 d，密度为 N，介质折射率为 m。这篇论文的目的是将介质的反射率与透射率与 d、N、m 联系起来。

引入系数：（1）准直光的吸收系数 k ，即准直光在通过厚度为 dz 的无线薄层时，因介质吸收而失去的光通为 kdz；（2）散射系数 s；（3）向前散射率 ξ，即在一个粒子处发生散射时，方向向前的通量占总散射通量的比例，我们可以将其理解为一个与相位函数意义相同的值；（4）平均路径系数 ε，即当光通穿过厚度为 dz 的介质，平均路径长度为 εdz。对准直光而言，ε 值为 1，对漫射光而言，ε 值已被证实为 2，即漫射光经过无限薄层的平均路径是准直光经过的二倍。

那么我们可以定义（1）准直光和漫射光向前散射系数分别为 ξs 和 εξs；（2）准直光和漫射光向后散射系数分别为 (1 - ξ) s 和 ε(1 - ξ)s；（3）漫射光的吸收系数为 εk .

这里与之前的论文对比可以得到：

把 ε = 2，a₀ = 1，a₁ = 1 代入发现多项式成立，且 ξ = 0.75，与米氏散射的相位函数很接近。由此发现了两篇论文的互通之处。

而根据米氏散射，有：

k = NC_abs = N(C_ext - C_sca) = (1 - a)NC_ext
s = NC_sca = aNC_ext

C_sca、C_abs、C_ext 分别是米氏散射、吸收、消耗系数，而 a = s / (k + s) . 在这里，将介质的物理性质（粒子密度N）与其光学性质（吸收、散射系数）联系起来了。

除了吸收与散射，还需要考虑反射（即边界条件）：（1）准直光在 I 和 O 处的反射率 r_c（即另一论文中的 R_c）；（2）在 I 和 O 处向介质内行进的漫射光的反射率 r_de（R_e）；（3）在 I 和 O 处向介质外行进的漫射光的反射率 r_di（r_ij）；（4）在背景板处准直光和漫射光的反射率 r_cb（R_s）、r_db（R_d）

【注】在背景 S 与介质底层 O 之间会存在多次的反射（可以使用等比数列表示）

二、系数间关系的建立

微分方程组的解为：

引入的新系数较多（与之前的论文进行对照发现两篇论文是完全符合的）：

这里还有四个重要的系数 C₁、 C₂、 C₃、 C₄ 的值没有讨论，因为它们的值是由边界条件决定的。边界条件包括入射光类型、反射率等，这些在之前有过讨论。↓↓↓

对比以上几个方程组，就可以得到系数C₁、 C₂、 C₃、 C₄ 的值：

其中：

三、透射率的计算

透射光由三部分组成：入射光为准直光，且以准直光形式透射出来；入射光为准直光，但以漫射光形式透射出来；入射光为漫射光，且以漫射光形式透射出来。

τ = τ_cc + τ_cd + τ_dd

1. 准直透射光
   透过背景S的透射光通（使用等比数列的求和公式）为：

物理意义上又满足以下公式：

假设背景 S 吸收了 (1 - τ_c) 的准直光，则准直光→准直光的透射率可表示为：

也可以被表示为：

τ_cc⁰ 为在背景 S 不存在时介质的透射率。

将 I_c(0) 替换为 I_c(Z)，即得到与准直入射光强度相关的透射率公式 ：

【注】如果 τ_c = 1，且所有反射率都为0，则该公式退化为比尔定律：

2. 漫透射光
   漫透射光有两种来源：准直入射光透射、漫射入射光透射。总的漫透射光通量为：

根据光通守恒：

假设背景 S 吸收了 (1 - τ_d) 的漫射光，则漫透射率可表示为：

τ_dt⁰ 为在背景 S 不存在时介质的漫透射率。

将公式表示为与入射光通量相关的形式：

以上公式中的系数部分与准直入射光 I_c^Z 有关，部分与漫射入射光 I_d^Z 有关。因此，可以将漫透射率 τ_dt 分为两部分：τ_cd、τ_dd，分别对应准直入射光、漫射入射光的漫透射率：

四、反射率的计算

反射光也由三部分组成：入射光为准直光，且以准直光形式反射出来；入射光为准直光，但以漫射光形式反射出来；入射光为漫射光，且以漫射光形式反射出来。

R = R_cc + R_cd + R_dd

1. 准直反射光
   这部分反射光由两部分通量组成：介质上表面发生的准直入射光反射的通量 + 经介质散射 / 吸收后从上表面透射出的准直光通量：

套公式，将其转换为只与入射光有关的形式：

根据上式可知，当 r_c = 0 且 r_cb = 0 时，R_cc = 0.

2. 漫反射光
   这部分反射光也可以分为两部分：介质上表面发生的漫射入射光反射的通量 + 经介质散射 / 吸收后从上表面透射出的漫射通量：

转换为只与入射光相关的形式：

上式中的系数部分与准直入射光 I_c^Z 有关，部分与漫射入射光 I_d^Z 有关。因此，可以将漫反射率 R_dt 分为两部分：R_cd、R_dd，分别对应准直入射光、漫射入射光的漫反射率：

五、Special Cases

1. 透明介质：k→0
2. 均匀不散射介质：s→0
3. 无限厚不透明介质：Z→∞
4. 三通道，即没有入射光反方向的准直光通道 J_c(z)，且不考虑边界反射及背景S：r_c = r_de = r_di = 0，r_cb = r_db = 0，τ_c = τ_d = 1
5. 双通道，即入射光只有漫射光而无准直光

当 r_c = r_de = r_di = 0，r_cb = r_db = 0，Z→∞，I_oc = 0（即K-M模型应用场景），则反射率 R = R_dd。另外，令 K = 2k，S = s（ε = 2，ξ = 0.5），即可得到K-M方程：