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BAIRE ONE FUNCTIONS (Baire第一类函数)

BAIRE ONE FUNCTIONS (Baire第一类函数)

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2020-08-19 13:09 被阅读0次

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JOHNNY HU, BAIRE ONE FUNCTIONS.

一些基本的定义(诸如逐点收敛, 一致收敛F_{\sigma}集合等)就不叙述了.

定义

Definition: 令D\subseteq \mathbb{R}, 函数f:D\rightarrow \mathbb{R}, 若存在连续函数列\{f_n\}逐点连续收敛到f, 则称为Baire第一类函数.

注: Baire第n类函数为Baire第n-1类函数的极限点.

很显然是:

  • 连续函数必为Baire第一类函数;
  • 仅有有限个不连续点的函数是Baire第一类函数;
  • Baire第一类函数不一定是连续函数;
  • Baire第一类函数对加法和数乘封闭;

导函数

定理1: 假设f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}是可微的, 则f'是Baire第一类函数.

\lim_{n \rightarrow \infty} n(f(x+\frac{1}{n})-f(x)).

一致收敛性质

引理1: 如果f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}是有界的Baire第一类函数, 则存在拥有共同界的连续函数列\{f_n\}逐点收敛到f.

f_n(x) = \left \{ \begin{array}{ll} -M, & \mathrm{if} \: g_n(x) < -M; \\ g_n(x),& \mathrm{if} \:-M \le g_n(x) \le M; \\ M, & \mathrm{if} g_n(x) > M. \end{array} \right.

引理2： 令\{f_k\}为定义在[a, b]上的Baire第一类函数列, \sum_{k=1}^{\infty} M_k为一收敛的正项级数. 如果|f_k(x)|\le M_k, i=1,2,\ldots,k, \forall x \in [a, b], 则函数f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)属于Baire一类函数.

|g_{kn}-f_k|, |\sum_{k=1}^n g_{kn}-\sum_{k=1}^{\infty}f_k|.

定理2: 令函数列\{f_n\}为定义在[a,b]上的Baire第一类函数, 且一致收敛到f, 则f同样是Baire第一类函数.

|f_{n_k}(x)-f(x)|\le 2^{-k} \Rightarrow |f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \le \frac{3}{2}2^{-k}.
g(x):=\sum_{k=1}^{\infty} f_{n_{k+1}}-f_{n_k}.

F_{\sigma}

引理5: 假设[a, b]=\cup_{k=1}^n A_k且A_k为F_{\sigma}集合, 则[a,b]=\cup_{k=1}^nB_k, 其中B_k为F_{\sigma}集合, 且B_k \subseteq A_k 并且俩俩不交.

H_i:=E_i \setminus \cup_{j=1}^{i-1}E_j.

引理8: 如果E为一闭集. 如果f:E\rightarrow \mathbb{R}在E上连续, 则存在一个扩张f_e:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}连续且f(x)=f_e(x), x\in E.

引理9: 假设[a,b]=\cup_{k=1}^n B_k, B_k为F_{\sigma}集且俩俩不交, 定义
f(x):= \sum_{k=1}^n c_k \chi_{B_k}(x), \: x \in [a, b].
则f为Baire第一类函数.

定理3: 函数f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}在[a, b]上连续, 当且仅当集合\{x\in[a, b]: f(x)<r\}和\{x \in [a,b]: f(x) >r\}关于任意r \in \mathbb{R}为F_{\sigma}集合.

\Rightarrow显然, 反之首先用引理5, 8, 9 (并结合一致收敛性) 证明f在有界函数下成立, 再构造复合函数
h \circ f
其中h为严格单调上升连续有界函数, 并利用事实:
a \circ b
若a为连续函数b为Baire第一类函数, 则a \circ b亦为Baire第一类函数.

f的连续点

定义: A \subseteq \mathbb{R}, 我们称
\omega (A):= \sup \{|f(x)-f(y)|:x,y\in A\}
为f在A处的振荡(oscillation).

定义: 对于x_0 \in \mathbb{R}, 令A_{\delta}:= (x_0-\delta, x_0 + \delta), \forall \delta > 0, 我们称
\omega(x_0) = \lim_{\delta \rightarrow 0} \omega (A_{\delta})
为f在点x_0出的振荡.

引理10: f在x_0出连续的充分必要条件是\omega(x_0)=0.

引理11: 假设\{D_n\}为一闭集列且[a, b]=\cup_{n=1}^{\infty}D_n, 则至少有一个D_n包含一个闭区间.

注: 此乃Baire定理, 一个等价(或更一般)的描述为:

E \subseteq \mathbb{R}^n为F_{\sigma}集, 即E=\cup_{k=1}^{\infty} F_k, 其中F_k为闭集. 若每个F_k皆无内点, 则E也无内点.

定理5: 如果f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}为Baire第一类函数, 则每个闭区间都包含f的一个连续点.

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