CPLEX出现'q1' is not convex？

作者: 番茄鸡蛋炒饭被抢注啦 | 来源:发表于2020-11-21 12:56 被阅读0次

不知道大家在写CPLEX的时候遇到过这个问题没有？

image

其实有过经验的小伙伴都知道该怎么处理了，但是小编决定还是写一下避免刚入行的小伙伴们踩坑。

这个错误呢查了ibm knowledge center显示如下：

image

里面讲了一堆想必大家也懒得去看了，我来讲讲这类问题的解决方案吧~出现这个错误的原因不是编程上的问题，而是建模方式上的问题。简单来说就是目标函数或者约束上出现了非线性的数学表达式。

那么什么是线性和非线性呢？我这里引一下百度知道上一个非常通俗易懂的解释：

两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，这样的两个变量之间的关系就zhi是“线性关系”；如果不是一次函数关系的——图象不是直线，就是“非线性关系”。比如说y=kx 就是线形的而y=x^2就是非线形的线形的图形一般是一条直线。

“非线性”的意思就是“所得非所望”。一个线性关系中的量是成比例的：十枚橘子的价钱是一枚的十倍。非线性意味着批发价格是不成比例的：一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。这里重要的观念是“反馈”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。

也就是说你的模型中很可能出现了多个变量相乘的情况，例如下面这种情景：

image

要解决这个问题，首先就得想你的模型给linearlized了。而最常用的做法就是“大M”法了，通过增加一个充分大的数，将多个相乘的变量给拆开，从而达到线性化的目的。

不过像上图那种情况就非常麻烦（其实是我建模建错了），今天就先不讨论。举个简单的例子，VRP的arc-flow模型中货物流常见的约束如下：

image

其中 $Q_j^k$ 和 $x_{i,j}^k$ 为决策变量， $Q_j^k$ 表示车辆 $k$ 离开客户 $j$ 以后的载重量，而 $x_{i,j}^k$ 为1表示车辆走过边( $i, j$ )，否则为0。这条约束的含义是非常明了的，如果车辆经过边( $i, j$ )，那么该车辆离开客户 $j$ 的载重量必须大于等于车辆离开客户 $i$ 的载重量加上客户 $j$ 的需求量，这是货物流平衡。

可以看到不等式右边出现了变量和变量相乘的情况，这就造成了我们刚刚说的“非线性”问题，那么这个模型放进cplex中肯定会报“not convex”的错误。为了让cplex能求解该模型，我们需要将非线性的约束转成线性的。

常见的一个办法是引入一个充分大的数，我们都喜欢叫它大M。当然这个数具体要多大，是不是越大越好，也不一定，后面我再讲。

先观察约束(8)右端的式子，发现只有当 $x_{i,j}^k$ 为1时，才需要 $Q_j^k \ge Q_i^k + q_i$ ，当 $x_{i,j}^k$ 为0时， $Q_j^k$ 就无所谓了。这是一个非常明显的if else约束。因此可以考虑将 $x_{i,j}^k$ 提取出来，和一个大M相乘：

$Q_j^k \ge Q_i^k + q_j +M(x_{i,j}^k-1)$

我们现在来检验上面这个约束含义是否和之前的保持一致。首先当 $x_{i,j}^k$ 为1时， $M(x_{i,j}^k-1)=0$ ,约束变成 $Q_j^k \ge Q_i^k + q_j$ ，这个没问题。然后当 $x_{i,j}^k$ 为0时， $M(x_{i,j}^k-1)=-M$ ，这个约束就被松弛掉了，也就是说 $Q_j^k$ 取其定义域内任意值都能满足，也和之前的保持一致。

这样，我们就将两个相乘的变量通过一个大M将其拆开了。将其他非线性约束改成非线性约束，就能放进CPLEX跑了。当然了，小编才疏学浅，目前只知道这种方法，不过已经够小编用了，就没继续往下深究。关于大M法将if else类的约束线性化，我这里贴一个知乎上的回答：

image

如果有多个变量相乘，那可能就得引入多个大M。不过呢，到这里还没有结束。下面我们聊聊关于大M的取值与CPLEX的精度可能造成的BUG。这种BUG是非常可怕的，如果不了解这一点，可能要走很多很多弯路哦，而且书本上才不会告诉你这些。

还是下面这条式子：

$Q_j^k \ge Q_i^k + q_j +M(x_{i,j}^k-1)$

关键就在于CPLEX可能会存在精度损失，比如为0-1的决策变量有可能求解之后是这样的：

image

也就是说当 $x=0.9999999995343387$ 或者当 $x=1.0000000004656613$ ，本应该为0的 $M(x_{i,j}^k-1)$ 此刻都不是0了。那么这就很有可能造成约束失效，从而使模型无法满足所有约束。

不过注意，我上面说的是有可能造成约束失效，而非一定。 $x=0.9999999995343387$ 和 $x=1.0000000004656613$ ，它们和1相差的值都在小数点的后九位。也就是说当M设置得足够大的时候（比如 $10^{10}$ ）， $M(x_{i,j}^k-1)$ 也会足够大，大到影响约束原本的作用。而当M不那么大的时候（比如 $10^{5}$ ）， $M(x_{i,j}^k-1)$ 也是小数点后4位，对原约束可以认为是没有影响的。