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接触了PyTorch这么长的时间，也玩了很多PyTorch的骚操作，都特别简单直观地实现了，但是有一个网络训练过程中的操作之前一直没有仔细去考虑过，那就是loss.backward()，看到这个大家一定都很熟悉，loss是网络的损失函数，是一个标量，你可能会说这不就是反向传播吗，有什么好讲的。
但是不知道大家思考过没有，如果loss不是一个标量，而是一个向量，那么loss.backward()是什么结果呢？
大家可以去试试，写一个简单的小程序
import torch as t
from torch.autograd import Variable as v
x = v(t.ones(2, 2), requires_grad=True)
y = x + 1
y.backward()
运行一下程序，恭喜你报错了，错误显示如下
backwarderror.png
我们来读一读这个错误是什么意思。backward只能被应用在一个标量上，也就是一个一维tensor，或者传入跟变量相关的梯度。
嗯，前面一句话很简单，backward应用在一个标量，平时我们也是这么使用的，但是后面一句话，with gradient w.r.t variable是什么鬼，传入一个变量相关的梯度。不理解啊不理解，看不懂没关系我们还可以做实验来解决这个问题，俗话说自己动手丰衣足食（我也想做个伸手党去看看别人写的，然后不幸地是并没有什么人写过这方面的东西）。
首先我们开始做一个简单的实验，就是复习一下标量的形式
# simple gradient
a = v(t.FloatTensor([2, 3]), requires_grad=True)
b = a + 3
c = b * b * 3
out = c.mean()
out.backward()
print('*'*10)
print('=====simple gradient======')
print('input')
print(a.data)
print('compute result is')
print(out.data[0])
print('input gradients are')
print(a.grad.data)
很简单，我们把数学表达式写出来，传入的参数$x_1 = 2, x_2 = 3$，特别注意Variable里面默认的参数requires_grad=False，所以这里我们要重新传入requires_grad=True让它成为一个叶子节点。
$$
a = (x_1, x_2) \quad b = (x_1 + 3, x_2 + 3) \quad c = (3 * (x_1+3)^2, 3(x_2 + 3)^2) \quad out=\frac{3((x_1+3)^2 + (x_2 + 3)^2)}{2}
$$
那么我们对其求偏导也很简单
$$
\frac{\partial out}{\partial x_1} = 3(x_1 + 3)|{x_1=2}=15 \quad \frac{\partial out}{\partial x_2} = 3(x_2 + 3)|{x_2=3} = 18
$$
这样依靠简单的微积分知识我们就能够算出他们的结果，运行一下程序，确保结果一致，ok。
Paste_Image.png
下面我们研究一下如何能够对非标量的情况下使用backward，下面开始做实验（瞎试）。
m = v(t.FloatTensor([[2, 3]]), requires_grad=True)
n = v(t.zeros(1, 2))
n[0, 0] = m[0, 0] ** 2
n[0, 1] = m[0, 1] ** 3
首先我们定义好输入$m = (x_1, x_2) = (2, 3)$，然后我们做的操作就是$n = (x_1^2, x_2^3)$，这样我们就定义好了一个向量输出，结果第一项只和$x_1$有关，结果第二项只和$x_2$有关，那么求解这个梯度，我们知道$\frac{\partial n_1}{\partial x_1} = 2 x_1 = 4, \frac{\partial n_2}{\partial x_2} = 3 x_2^2 = 27$ ，下面我们开始探究如何能够让他调用backward。
第一想法就是里面这个参数是要求梯度的对象，我们这样调用n.backward(m.data)，有有报错诶，是不是成功了，我真的是个天才，这么难的东西都能想到，等等，我好想看到了一个很神奇的结果。
Paste_Image.png
这是什么鬼，这跟说好的结果不一样啊，我们想要的结果是4和27,现在给我们的结果是8和81,为什么会出现这样神奇的结果呢，想不通啊。我们看看我们传入的参数是m.data，这是一个(2, 3)的向量，我们希望得到的梯度是(4, 27)，好像($42=8, 273=81$)，我的内心毫无波动，甚至有点想笑，似乎backward将我传入的参数m.data乘上了得到的梯度，既然要乘上我传入的参数，那么我就给你传入1,这样总能得到我想要的结果了吧，n.backward(t.FloatTensor([[1, 1]]))，看看结果呢
backwardresult2.png
哇，跟我们想要的结果一样诶，撒花，我们解决了一个大问题，就是这么简单，扔进去一个1就可以了，这个问题也没有那么难嘛，哈哈哈。
似乎又有一点不对，如果这么简单那么写PyTorch的人为什么不把这一步直接集成进去，那我们不就不会遇到这个问题了嘛。
Paste_Image.png
我们来试试另外一种情况
m = v(t.FloatTensor([[2, 3]]), requires_grad=True)
j = t.zeros(2 ,2)
k = v(t.zeros(1, 2))
m.grad.data.zero_()
k[0, 0] = m[0, 0] ** 2 + 3 * m[0 ,1]
k[0, 1] = m[0, 1] ** 2 + 2 * m[0, 0]
上面的代码写成数学表达式就是$m = (x_1=2, x_2=3), k = (x_1^2 + 3x_2, x_2^2+2x_1)$，么我们直接对k反向传播k.backward(t.FloatTensor([[1, 1]])，结果是什么呢？
首先我们手动算一算结果是什么。$\frac{\partial (x_1^2 + 3x_2)}{\partial x_1 } = 2x_1=4,\ \frac{\partial (x_1^2 + 3x_2)}{\partial x_2 } = 3,\ \frac{\partial (x_2^2 + 2x_1)}{\partial x_1} = 2,\ \frac{\partial (x_2^2 + 2x_1)}{\partial x_2} = 2x_2 = 6$，我们是希望能够得到上面四个结果，这个时候你可能已经开始怀疑了，能够得到这4个结果吗？我们可以输出结果来看看
backwardresult3.png
非常遗憾，我们只得到了两个结果，并且数值并不对，这个时候你就会疑惑了，到底是哪里出了问题呢，为什么会得到这样的结果呢？
经过不断地尝试，我终于发现了其中的奥秘，k.backward(parameters)接受的参数parameters必须要和k的大小一模一样，然后作为k的系数传回去，什么意思呢，我们通过上面的例子来解释这个问题你就知道了。
我们已经知道我们得到的$k = (k_1, k_2)$，以及传入的参数是1和1，那么是如何得到这6和9这两个结果的呢？
其实第一个结果是通过$1 * \frac{d k_1}{d x_1} + 1 * \frac{d k_2}{d x_1} = 2 x_1 + 2 = 6$这样得到的，是不是有点理解这个操作是怎么完成的了，我们再来看看第二个结果，$ 1 * \frac{d k_1}{d x_2} + 1 * \frac{d k_2}{d x_2} = 3+2 x_2 = 9$，这样我们就得到了这两个结果，原来我们传入的参数是每次求导的一个系数。
我们知道了这个操作具体是怎么完成的，我们就可以求求我们需要的这个jacobian矩阵了，非常简单。
# jacobian
j = t.zeros(2 ,2)
k = v(t.zeros(1, 2))
m.grad.data.zero_()
k[0, 0] = m[0, 0] ** 2 + 3 * m[0 ,1]
k[0, 1] = m[0, 1] ** 2 + 2 * m[0, 0]
k.backward(t.FloatTensor([[1, 0]]), retain_variables=True)
j[:, 0] = m.grad.data
m.grad.data.zero_()
k.backward(t.FloatTensor([[0, 1]]))
j[:, 1] = m.grad.data
print('jacobian matrix is')
print(j)
我们可以得到如下结果
Paste_Image.png
这里我们要注意backward()里面另外的一个参数retain_variables=True，这个参数默认是False，也就是反向传播之后这个计算图的内存会被释放，这样就没办法进行第二次反向传播了，所以我们需要设置为True，因为这里我们需要进行两次反向传播求得jacobian矩阵。
最后我们再举一个矩阵乘法的例子试验一下我们的结果
x = t.FloatTensor([2, 1]).view(1, 2)
x = v(x, requires_grad=True)
y = v(t.FloatTensor([[1, 2], [3, 4]]))
z = t.mm(x, y)
jacobian = t.zeros((2, 2))
z.backward(t.FloatTensor([[1, 0]]), retain_variables=True) # dz1/dx1, dz2/dx1
jacobian[:, 0] = x.grad.data
x.grad.data.zero_()
z.backward(t.FloatTensor([[0, 1]])) # dz1/dx2, dz2/dx2
jacobian[:, 1] = x.grad.data
print('=========jacobian========')
print('x')
print(x.data)
print('y')
print(y.data)
print('compute result')
print(z.data)
print('jacobian matrix is')
print(jacobian)
上面是代码，仔细阅读，作为一个小练习回顾一下本篇文章讲的内容，妈妈再也不用担心我不会用backward了。
本文代码已经上传到了github上
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